Вектор Лапласа — Рунге — Ленца: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
→Сохранение под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния: исправление ссылки |
оформление ссылок на источники, пунктуация |
||
Строка 1:
: ''В этой статье [[Вектор (математика)|вектор]]ы выделены жирным шрифтом, а их [[Норма (математика)|абсолютные величины]] — курсивом, например, <math>|\mathbf{A}|=A</math>''.
В [[классическая механика|классической механике]] '''ве́ктором Лапла́са — Ру́нге — Ле́нца''' называется вектор, в основном используемый для описания формы и ориентации орбиты, по которой одно небесное тело обращается вокруг другого (например, орбиты, по которой планета вращается вокруг звезды). В случае с двумя телами, взаимодействие которых описывается [[закон всемирного тяготения|законом всемирного тяготения Ньютона]], вектор Лапласа — Рунге — Ленца представляет собой [[интеграл движения]], то есть его направление и величина являются постоянными независимо от того, в какой точке орбиты они вычисляются<ref>{{
Например, такой [[закон Кулона|потенциал]] возникает при рассмотрении классических орбит (без учёта квантования) в задаче о движении отрицательно заряженного электрона, движущегося в электрическом поле положительно заряженного ядра. Если вектор Лапласа — Рунге — Ленца задан, то форма их относительного движения может быть получена из простых геометрических соображений, с использованием законов сохранения этого вектора и энергии.
Согласно [[принцип соответствия|принципу соответствия]] у вектора Лапласа — Рунге — Ленца имеется [[квантовая механика|квантовый]] аналог, который был использован в первом выводе [[спектр испускания|спектра]] [[атом водорода|атома водорода]]
В задаче Кеплера имеется необычная особенность: конец вектора импульса <math>\mathbf{p}</math> всегда движется по кругу
Вектор Лапласа — Рунге — Ленца также известен как ''вектор Лапласа'', ''вектор Рунге — Ленца'' и ''вектор Ленца'', хотя ни один из этих учёных не вывел его впервые. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца открывался вновь несколько раз
== Контекст ==
Одиночная частица, движущаяся под воздействием любой [[закон сохранения энергии|консервативной]] [[центральная сила|центральной силы]], имеет, по крайней мере, четыре [[интеграл движения|интеграла движения]] (сохраняющиеся при движении величины): полная [[энергия]] <math>E</math> и три компоненты [[угловой момент|углового момента]] (вектора <math>\mathbf{L}</math>). Орбита частицы лежит в плоскости, которая определяется начальным [[импульс]]ом частицы, <math>\mathbf{p}</math> (или, что эквивалентно, [[скорость]]ю <math>\mathbf{v}</math>) и координатами,
Как определено [[#Математическое определение|ниже]], вектор Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}</math> всегда находится в плоскости движения — то есть, <math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{L}=0</math> — для любой центральной силы. Также <math>\mathbf{A}</math> является постоянным только для силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния
== История ==
Вектор Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}</math> является сохраняющейся величиной в задаче Кеплера и полезен при описании [[орбита|астрономических орбит]], наподобие движения [[планеты]] вокруг Солнца. Однако он никогда не был широко известен среди физиков, возможно, потому что является менее интуитивно понятным вектором, чем [[импульс]] и [[угловой момент]]. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца независимо открывали несколько раз за прошедшие три столетия
В середине [[XIX век]]а [[Гамильтон, Уильям
В [[1926 год]]у этот вектор использовал [[Паули, Вольфганг|Вольфганг Паули]], чтобы вывести [[спектр]] атома водорода, используя современную [[матричная квантовая механика|матричную квантовую механику]], а не [[уравнение Шрёдингера]]
== Математическое определение ==
[[Файл:Laplace Runge Lenz vector.svg|thumb|right|400px|Рис. 1: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца <math>\scriptstyle\mathbf{A}</math> (показанный красным цветом) в четырёх точках (обозначенных ''1'', ''2'', ''3'' и ''4'') на эллиптической орбите связанной точечной частицы, движущейся под действием [[центральная сила|центральной силы]], зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния. Маленький чёрный круг обозначает центр притяжения. От него начинаются радиус-векторы (выделены чёрным цветом), направленные в точки ''1'', ''2'', ''3'' и ''4''. Вектор [[угловой момент|углового момента]] <math>\scriptstyle\mathbf{L}</math> направлен перпендикулярно орбите. [[Компланарные векторы]] <math>\scriptstyle\mathbf{p}\times\mathbf{L}</math>, <math>\scriptstyle(mk/r)\mathbf{r}</math> и <math>\scriptstyle\mathbf{A}</math> изображены синим, зелёным и красным цветами, соответственно; эти переменные определены [[#Математическое определение|ниже]]. Вектор <math>\scriptstyle\mathbf{A}</math> является постоянным по направлению и величине.]]
Для одиночной частицы, движущейся под действием [[центральная сила|центральной силы]], зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния и описываемой уравнением <math>\mathbf{F}(r)=\frac{-k}{r^2}\mathbf{\hat{r}}</math>, '''вектор Лапласа — Рунге — Ленца''' <math>\mathbf{A}</math> определён математически по формуле
: <math>\mathbf{A}=\mathbf{p}\times\mathbf{L}-mk\mathbf{\hat{r}},</math>
где
Строка 55 ⟶ 52 :
Семь скалярных величин: энергия <math>E</math> и компоненты векторов Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}</math> и момента импульса <math>\mathbf{L}</math> — связаны двумя соотношениями. Для векторов выполняется условие ортогональности <math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{L}=0</math>, а энергия входит в выражение для квадрата длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца, полученного выше <math>A^2=m^2k^2+2mEL^2</math>. Тогда существует пять независимых сохраняющихся величин, или [[интегралы движения|интегралов движения]]. Это совместимо с шестью начальными условиями (начальное положение частицы и её скорость являются векторами с тремя компонентами), которые определяют орбиту частицы, так как начальное время не определено интегралами движения. Поскольку величину <math>\mathbf{A}</math> (и эксцентриситет <math>e</math> орбиты) можно определить из полного углового момента <math>L</math> и энергии <math>E</math>, то утверждается, что только направление <math>\mathbf{A}</math> сохраняется независимо. Кроме того, вектор <math>\mathbf{A}</math> должен быть перпендикулярным <math>\mathbf{L}</math> — это приводит к одной дополнительной сохраняющейся величине.
Механическая система с <math>d</math> [[Степени свободы (физика)|степенями свободы]] может обладать максимум <math>2d-1</math> интегралами движения, поскольку <math>2d</math> начальных условия и начальное время не могут быть определены из интегралов движения. Система с более чем <math>d</math> интегралами движения называется ''суперинтегрируемой'', а система с <math>2d-1</math> интегралами называется ''максимально суперинтегрируемой''
=== Уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах ===
Строка 67 ⟶ 63 :
: <math>x=\frac{1}{2}(\xi-\eta),</math>
: <math>y =\sqrt{\xi\eta}.</math>
Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби в этих координатах даёт два эквивалентных уравнения
: <math>2\xi p_\xi^2-mk-mE\xi=-\beta,</math>
: <math>2\eta p_\eta^2-mk-mE\eta=\beta,</math>
где <math>\beta</math> — [[интеграл движения]]. Посредством вычитания этих уравнений и выражения в терминах декартовых координат импульса <math>p_x</math> и <math>p_y</math> можно показать, что <math>\beta</math> эквивалентен вектору Лапласа — Рунге — Ленца
: <math>\beta=p_y(xp_y-yp_x)-mk\frac{x}{r}=A_x.</math>
Этот подход Гамильтона — Якоби может использоваться, чтобы вывести сохраняющийся обобщённый вектор Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathcal{A}</math> в присутствии электрического поля <math>\mathbf{E}</math> <ref name="landau_lifshitz_1976" /><ref>{{cite journal | last = Redmond | first =
: <math>\mathcal{A}=\mathbf{A}+\frac{mq}{2}\left[(\mathbf{r}\times\mathbf{E})\times\mathbf{r}\right],</math>
где <math>q</math> — [[электрический заряд|заряд]] обращающейся частицы.
Строка 79 ⟶ 75 :
В отличие от [[импульс]]а <math>\mathbf{p}</math> и [[угловой момент|углового момента]] <math>\mathbf{L}</math>, у вектора Лапласа — Рунге — Ленца нет общепринятого определения. В научной литературе используются несколько различных множителей и символов. Самое общее определение даётся [[#Математическое определение|выше]], но другое определение возникает после деления на постоянную <math>mk</math>, чтобы получить безразмерный сохраняющийся вектор эксцентриситета
: <math>\mathbf{e}=\frac{1}{mk}(\mathbf{p}\times\mathbf{L})-\mathbf{\hat{r}}=\frac{m}{k}(\mathbf{v}\times\mathbf{r}\times\mathbf{v})-\mathbf{\hat{r}},</math>
где <math>\mathbf{v}</math> — вектор скорости. Направление этого
: <math>\mathbf{M}=\mathbf{v}\times\mathbf{L}-k\mathbf{\hat{r}}</math>
или на <math>p_0</math>
Строка 87 ⟶ 83 :
[[Файл:Kepler trivector.svg|thumb|right|250px|Рис. 3: Вектор углового момента <math>\scriptstyle\mathbf{L}</math>, вектор Лапласа — Рунге — Ленца <math>\scriptstyle\mathbf{A}</math> и вектор Гамильтона, [[бинормаль]] <math>\scriptstyle\mathbf{B}</math>, являются взаимно перпендикулярными; <math>\scriptstyle\mathbf{A}</math> и <math>\scriptstyle \mathbf{B}</math> указывают на большую и на малую полуоси, соответственно, эллиптической орбиты в задаче Кеплера.]]
Альтернативный сохраняющийся вектор: [[бинормаль]] — вектор <math>\mathbf{B}</math> изучен [[Гамильтон, Уильям
: <math>\mathbf{B}=\mathbf{p}-\left(\frac{mk}{L^2r}\right)(\mathbf{L}\times\mathbf{r}),</math>
который сохраняется и указывает вдоль малой полуоси эллипса. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}=\mathbf{B}\times\mathbf{L}</math> является [[векторное произведение|векторным произведением]] <math>\mathbf{B}</math> и <math>\mathbf{L}</math> (рис. 3). Вектор <math>\mathbf{B}</math> обозначен как ''[[бинормаль]]'', так как он перпендикулярен как <math>\mathbf{A}</math>, так и <math>\mathbf{L}</math>. Подобно вектору Лапласа — Рунге — Ленца, вектор бинормали можно определить с различными множителями.
Строка 93 ⟶ 89 :
Два сохраняющиеся вектора, <math>\mathbf{A}</math> и <math>\mathbf{B}</math> можно объединить в сохраняющийся [[двухэлементный тензор]] <math>\mathbf{W}</math>
: <math>\mathbf{W}=\alpha\mathbf{A}\otimes\mathbf{A}+\beta\mathbf{B}\otimes\mathbf{B},</math>
где <math>\otimes</math> обозначает [[тензорное произведение]], а <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — произвольные множители <ref name="fradkin_1967" />. Записанное в
: <math>W_{ij}=\alpha A_iA_j+\beta B_iB_j.</math>
Векторы <math>\mathbf{A}</math> и <math>\mathbf{B}</math> ортогональны друг другу, и их можно представить как [[главные оси]] сохраняющегося [[тензор]]а <math>\mathbf{W}</math>,
: <math>\mathbf{L}\cdot\mathbf{W}=\alpha(\mathbf{L}\cdot\mathbf{A})\mathbf{A}+\beta(\mathbf{L}\cdot\mathbf{B})\mathbf{B}=0,</math>
поскольку <math>\mathbf{A}</math> и <math>\mathbf{B}</math> перпендикулярны, то <math>\mathbf{L}\cdot\mathbf{A}=\mathbf{L}\cdot\mathbf{B}=0</math>.
Строка 137 ⟶ 133 :
Во многих практических проблемах, типа планетарного движения, взаимодействие между двумя телами только ''приблизительно'' зависит обратно пропорционально квадрату расстояния. В таких случаях вектор Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}</math> не постоянен. Однако, если возмущающий потенциал <math>h(r)</math> зависит только от расстояния, то полная энергия <math>E</math> и вектор [[угловой момент|углового момента]] <math>\mathbf{L}</math> сохраняются. Поэтому траектория движения всё ещё находится в перпендикулярной к <math>\mathbf{L}</math> плоскости, и величина <math>A</math> сохраняется, согласно уравнению <math>A^2=m^2k^2+2mEL^2</math>. Следовательно, направление <math>\mathbf{A}</math> медленно вращается по орбите в плоскости. Используя каноническую теорию возмущений и [[координаты действие-угол]], можно прямо показать <ref name="goldstein_1980" />, что <math>\mathbf{A}</math> вращается со скоростью
: <math>\frac{\partial}{\partial L}\langle h(r)\rangle=\frac{\partial}{\partial L}\left\{\frac{1}{T}\int\limits_0^T h(r)\,dt\right\}=\frac{\partial}{\partial L}\left\{\frac{m}{L^2}\int\limits_0^{2\pi}r^2h(r)\,d\theta\right\},</math>
где <math>T</math> — период орбитального движения и равенство <math>L\,dt=mr^2\,d\theta</math> использовалось, чтобы преобразовать интеграл по времени в интеграл по углу (рис. 5). Например, принимая во внимание эффекты [[общая теория относительности|общей теории относительности]], приходим к добавке, которая в отличие от обычной гравитационной силы Ньютона зависит обратно пропорционально кубу расстояния
: <math>h(r)=\frac{kL^2}{m^2c^2}\left(\frac{1}{r^3}\right).</math>
Подставляя эту функцию в интеграл и используя уравнение
Строка 143 ⟶ 139 :
чтобы выразить <math>r</math> в терминах <math>\theta</math>, [[Прецессия|скорость прецессии]] [[перицентр]]а, вызванная этим возмущением, запишется в виде <ref name="einstein_1915" />
: <math>\frac{6\pi k^2}{TL^2c^2}.</math>
которая близка по значению к величине прецессии для [[Меркурий (планета)|Меркурия]] необъяснённой ньютоновской теорией гравитации
== Теория групп ==
=== Преобразование Ли ===
[[Файл:Scaled ellipses.png|thumb|right|350px|Рис. 6: Преобразование Ли, из которого выводится сохранение вектора Лапласа — Рунге — Ленца <math>\scriptstyle\mathbf{A}</math>. Когда
Существует другой метод вывода вектора Лапласа — Рунге — Ленца, использующий вариацию координат без привлечения скоростей
: <math>t\to\lambda^3t,\;\mathbf{r}\to\lambda^2\mathbf{r},\;\mathbf{p}\to\frac{1}{\lambda}\mathbf{p}.</math>
Это преобразование изменяет полный угловой момент <math>L</math> и энергию <math>E</math>
Строка 182 ⟶ 178 :
соответствует сохранению величины
: <math>J=-G+\sum_i g_i\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right).</math>
Сохранённая компонента вектора Лапласа — Рунге — Ленца <math>A_s</math> соответствует вариации координат
: <math>\delta x_i=\frac{\varepsilon}{2}[2p_ix_s-x_ip_s-\delta_{is}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})],</math>
где <math>i</math> равняется 1, 2 и 3, а <math>x_i</math> и <math>p_i</math> — <math>i</math>-ые компоненты векторов положения <math>\mathbf{r}</math> и импульса <math>\mathbf{p}</math>, соответственно. Как обычно, <math>\delta_{is}</math> — [[дельта Кронекера|символ Кронекера]]. Получающееся изменение в первом порядке функции Лагранжа запишем как
Строка 194 ⟶ 190 :
[[Файл:Kepler hodograph family.png|thumb|right|Рис. 7: Семейство кругов годографа импульса для заданной энергии <math>\scriptstyle l</math>. Все круги проходят через две точки <math>\scriptstyle\pm p_0=\pm\sqrt{2m|E|}</math> на оси <math>\scriptstyle p_x</math> (сравните с рис. 3). Это семейство годографов соответствует семейству [[Окружность Аполлония|окружностей Аполлония]], и <math>\scriptstyle\sigma</math> [[изоповерхность|изоповерхностям]] [[биполярные координаты|биполярных координат]].]]
Симметрия повышается для центральной силы, обратной квадрату расстояния. Специфическая симметрия проблемы Кеплера приводит к сохранению как вектора углового момента <math>\mathbf{L}</math>, так и вектора Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}</math> (как определено [[#Математическое определение|выше]]) и квантовомеханически гарантирует, что уровни энергии [[атом водорода|атома водорода]] не зависят от квантовых чисел углового момента <math>l</math> и <math>m</math>. Симметрия является более тонкой, потому что операция симметрии должна иметь место в пространстве большей размерности; такие симметрии часто называют ''скрытыми симметриями''
Связанная система с ''отрицательной'' полной энергией обладает симметрией [[SO(4)]], которая сохраняет длину четырёхмерных векторов
: <math>|\mathbf{e}|^2=e_1^2+e_2^2+e_3^2+e_4^2.</math>
В [[1935 год]]у [[Фок, Владимир|Владимир Фок]] показал, что квантовомеханическая проблема Кеплера эквивалентна проблеме свободной частицы, ограниченной четырёхмерной [[гиперсфера|гиперсферой]] <ref name="fock_1935" />. В частности, Фок показал, что [[волновая функция]] [[уравнение Шрёдингера|уравнения Шрёдингера]] в пространстве импульсов для проблемы Кеплера представляет собой [[стереографическая проекция#Обобщение на высшие размерности|четырехмерное обобщение]] [[стереографическая проекция|стереографической проекции]] [[сферические функции|сферических функций]] из [[3-сфера|3-сферы]] в трехмерное пространство. Вращение гиперсферы и перепроектирование приводит к непрерывному преобразованию эллиптических орбит, не изменяющему энергию; квантовомеханически это соответствует смешиванию всех орбиталей с одинаковым главным квантовым числом <math>n</math>. [[Баргман, Валентин|Валентин Баргман]] отметил впоследствии, что скобки Пуассона для вектора углового момента <math>\mathbf{L}</math> и скалированного вектора Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{D}</math> формируют [[алгебра Ли|алгебру Ли]] для <math>SO(4)</math>. <ref name="bargmann_1936" /> Проще говоря, эти шесть величин <math>\mathbf{D}</math> и <math>\mathbf{L}</math> соответствуют шести сохраняющимся угловым импульсам в четырёх измерениях, связанных с шестью возможными [[SO(4)|простыми вращениями]] в этом пространстве (есть шесть способов выбрать две оси из четырёх). Это заключение не подразумевает, что наша [[
''Рассеянная'' система с ''положительной'' полной энергией обладает симметрией [[SO(3,1)]], которая сохраняет длину [[4-вектор]]а в пространстве с [[пространство Минковского|метрикой Минковского]]
: <math>ds^2=e_1^2+e_2^2+e_3^2-e_4^2.</math>
Фок
==== Симметрия вращений в четырёхмерном пространстве ====
[[Файл:Kepler Fock projection.svg|thumb|right|300px|Рис. 8: Годограф импульса на рис. 7 соответствует [[стереографическая проекция|стереографической проекции]] больших кругов из четырёхмерной <math>\scriptstyle\eta</math> сферы единичного радиуса. Все большие круги пересекают <math>\scriptstyle\eta_x</math> ось, которая направлена перпендикулярно странице. Проекция из северного полюса (единичный вектор <math>\scriptstyle \mathbf{w}</math>) к (<math>\scriptstyle\eta_x</math>-<math>\scriptstyle\eta_y</math>) плоскости, как показано для пурпурного годографа пунктирной чёрной линией. Большой круг на широте <math>\scriptstyle \alpha</math> соответствует [[эксцентриситет]]у <math>\scriptstyle e=\sin\alpha</math>. Цвета больших кругов, показанных здесь, соответствуют цветам их годографов на рис. 7.]]
Связь между [[проблема двух тел|проблемой Кеплера]] и вращениями в четырёхмерном пространстве [[SO(4)]] можно достаточно просто визуализировать
: <math>\boldsymbol\eta=\frac{p^2-p_0^2}{p^2+p_0^2}\mathbf{\hat{w}}+\frac{2p_0}{p^2+p_0^2}\mathbf{p}=\frac{mk-rpp_0}{mk}\mathbf{\hat{w}}+\frac{rp_0}{mk}\mathbf{p},</math>
где <math>\mathbf{\hat{w}}</math> — единичный вектор вдоль новой оси <math>w</math>. Поскольку <math>\boldsymbol{\eta}</math> имеет только три независимые компоненты, то этот вектор можно обратить, получив выражение для <math>\mathbf{p}</math>. Например, для компоненты <math>x</math>
Строка 214 ⟶ 210 :
Без потери общности, мы можем устранить нормальную вращательную симметрию, выбирая [[декартовы координаты]], где ось <math>z</math> направлена вдоль вектора углового момента <math>\mathbf{L}</math>, и годограф импульса расположен как показано на рисунке 7, с центрами кругов на оси <math>y</math>. Так как движение происходит в плоскости, а <math>\mathbf{p}</math> и <math>L</math> ортогональны, <math>p_z=\eta_z=0</math>, и внимание можно сосредоточить на трёхмерном векторе <math>\boldsymbol{\eta}=(\eta_w,\;\eta_x,\;\eta_y)</math>. Семейство [[Окружность_Аполлония|окружностей Аполлония]] годографов импульса (рис. 7) соответствует множеству [[большой круг|больших кругов]] на трёхмерной сфере <math>\boldsymbol{\eta}</math>, все из которых пересекают ось <math>\eta_x</math> в этих двух фокусах <math>\eta_x=\pm 1</math>, соответствующих фокусам годографа импульса при <math>p_x=\pm p_0</math>. Большие круги связаны простым вращением вокруг оси <math>\eta_x</math> (рис. 8). Эта вращательная симметрия преобразует все орбиты с той же самой энергией друг в друга; однако, такое вращение ортогонально к обычным трёхмерным вращениям, так как оно преобразует четвёртое измерение <math>\eta_w</math>. Эта более высокая симметрия характерна для проблемы Кеплера и соответствует сохранению вектора Лапласа — Рунге — Ленца.
Изящное решение для проблемы Кеплера с использованием [[переменные угол-действие|переменных угол-действие]] можно получить, избавляясь от избыточной четырёхмерной координаты <math>\boldsymbol{\eta}</math> и используя эллиптические цилиндрические координат <math>(\alpha,\;\beta,\;\varphi)</math> <ref>{{cite journal | last = Lakshmanan | first = M. | coauthors = Hasegawa H | title = On the canonical equivalence of the Kepler problem in coordinate and momentum spaces | journal = Journal of Physics A | volume = 17 | pages = L889—L893}}</ref>
: <math>\eta_w=\mathrm{cn}\,\alpha\,\mathrm{cn}\,\beta,</math>
: <math>\eta_x=\mathrm{sn}\,\alpha\,\mathrm{dn}\,\beta\cos\varphi,</math>
Строка 225 ⟶ 221 :
=== Квантовая механика атома водорода ===
[[Файл:Hydrogen energy levels.png|thumb|right|400px|Рис. 9: Уровни энергии водородного атома, предсказанные с использованием коммутационных соотношений углового момента и векторных операторов Лапласа — Рунге — Ленца; эти уровни энергии были проверены экспериментально.]]
Скобки Пуассона дают простой способ для [[каноническое квантование|квантования классической системы]]. [[Коммутатор_операторов|Коммутатор]] двух квантовомеханических [[оператор (физика)|операторов]] равняется [[скобки Пуассона|скобке Пуассона]] соответствующих классических переменных, умноженной на <math>i\hbar</math> <ref>{{
Особенность квантовомеханического оператора для вектора Лапласа — Рунге — Ленца <math>\mathbf{A}</math> заключается в том, что импульс и операторы углового момента не коммутируют друг с другом, следовательно, векторное произведение <math>\mathbf{p}</math> и <math>\mathbf{L}</math> должно быть определено тщательно
: <math>A_s=-mk\hat{r}_s+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\varepsilon_{sij}(p_il_j+l_jp_i),</math>
из которого определяются соответствующие [[лестничные операторы]]
Строка 239 ⟶ 235 :
=== Обобщение на другие потенциалы и СТО ===
Вектор Лапласа — Рунге — Ленца был обобщён на другие потенциалы и даже на [[Специальная теория относительности|специальную теорию относительности]]. Наиболее общую форму этого вектора можно записать в виде
: <math>\mathcal{A}=\left(\frac{\partial\xi}{\partial u}\right)(\mathbf{p}\times\mathbf{L})+\left[\xi-u\left(\frac{\partial\xi}{\partial u}\right)\right]L^2\mathbf{\hat{r}},</math>
где <math>u=1/r</math> (см. [[теорема Бертрана]]) и <math>\xi=\cos\theta</math>, с углом <math>\theta</math>, определённым как
Строка 265 ⟶ 261 :
== Дополнительное чтение ==
* {{cite journal | first=P.G.L. |last=Leach | coauthors=G.P. Flessas | title=Generalisations of the Laplace
{{Избранная статья|Астрономия|Физика}}
| |||