Lp (пространство): различия между версиями

Как следует из элементарных свойств [[Интеграл Лебега|интеграла Лебега]] и [[неравенство Минковского|неравенства Минковского]], пространство <math>\mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math> [[Линейное пространство|линейно]].

 

: <math>\|f\|_p = \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) \right) ^{\frac{1}{p}}</math>.

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы<ref>Введённая таким образом полунорма не является [[норма (математика)|нормой]], ибо если <math>f(x) = 0</math> [[почти всюду]], то <math>\|f\|_p = 0</math>, что противоречит требованиям к норме. Чтобы превратить пространство с [[полунорма|полунормой]] в пространство с нормой, необходимо «отождествить» функции, различающиеся между собой лишь на множестве [[Мера (математика)|меры]] нуль.</ref>