|
'''МетодМе́тод КрамераКра́мера (правило Крамера)''' — способ решения [[Система линейных алгебраических уравнений|систем линейных алгебраических уравнений]] с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным [[Определитель|определителем]] [[Матрица (математика)|основной матрицы коэффициентов системы]] (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени [[Крамер, Габриэль|Габриэля Крамера]] (1704—1752), предложившего этот метод в 1750 г.<ref>{{cite web
| title = Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques
| author = Cramer, Gabriel
\end{vmatrix}</math>
В этой форме формуламетод Крамера справедливасправедлив без предположения, что <math>\Delta</math> отличноотличен от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами [[целостное кольцо|целостного кольца]] (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы <math>b_1,b_2,...,b_n</math> и <math>x_1,x_2,...,x_n</math>, либо набор <math>c_1,c_2,...,c_n</math> состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь [[модуль над кольцом|модуля]] над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для [[определитель Грама|определителя Грама]] и [[Лемма Накаямы|Леммы Накаямы]].
== Пример ==
Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:
: <math>\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1\\
a_{31} & a_{32} & b_3 \\
\end{vmatrix}</math>
В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.
Решение:
: <math>x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta},\ \ x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta},\ \ x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}</math>
== Вычислительная сложность ==
Метод Крамера требует вычисления <math>n+1</math> определителей размерности <math>n\times n</math>. При использовании [[Метод Гаусса|метода Гаусса]] для вычисления определителей, метод имеет [[Вычислительная сложность|временную сложность по элементарным операциям сложения-умножения]] порядка <math>O(n^4)</math>, что хуже,сложнее чем если бы [[метод Гаусса]] напрямуюпри использовалсяпрямом для решениярешении системы уравнений. Поэтому метод, с точки зрения затрат времени на вычисления, считался непрактичным. Однако, в [[2010 годугод]]у было показано, что метод Крамера может быть реализован со сложностью <math>O(n^3)</math>, сравнимой со сложностью [[Метод Гаусса|метода Гаусса]]{{-1|<ref>''Ken Habgood and Itamar Arel.'' 2010. Revisiting Cramer's rule for solving dense linear systems. In Proceedings of the 2010 Spring Simulation Multiconference (SpringSim '10)</ref>}}.
== Литература ==
|
