Компактное пространство: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Сорахеку (обсуждение | вклад) |
Сорахеку (обсуждение | вклад) |
||
Строка 18:
== Свойства ==
* Свойства, равносильные компактности:
* Общие свойства:▼
** Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое центрированное семейство замкнутых множеств, то есть семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение<ref>См. также [[Лемма о вложенных отрезках]]</ref>.▼
** Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая [[направленность (математика)|направленность]] в нём имеет предельную точку.
** Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый [[Фильтр (математика)|фильтр]] в нём имеет предельную точку.
** Для любого [[непрерывное отображение|непрерывного отображения]] образ компакта — компакт.
** [[Теорема Вейерштрасса о функции на компакте|Теорема Вейерштрасса]]. Любая непрерывная вещественная функция на компактном пространстве ограниченна и достигает своих наибольших и наименьших значений.
Строка 25 ⟶ 29 :
** Теорема Тихонова: произведение произвольного (необязательно конечного) множества компактных множеств (с [[топология произведения|топологией произведения]]) компактно.
** Любое [[непрерывное отображение|непрерывное]] [[биекция|взаимно однозначное отображение]] компакта в [[хаусдорфово пространство]] является [[гомеоморфизм]]ом.
** Компактные множества «ведут себя
▲** Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое центрированное семейство замкнутых множеств, то есть семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение<ref>См. также [[Лемма о вложенных отрезках]]</ref>.
▲** Компактные множества «ведут себя, как точки»<ref>Энгелькинг, с.210</ref>. Например: в хаусдорфовом пространстве любые два непересекающиеся компактных множества обладают непересекающимися окрестностями, в [[Регулярное пространство|регулярном]] пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества обладают непересекающимися окрестностями, в тихоновском пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества [[Функциональная отделимость|функционально отделимы]].
* Свойства компактных метрических пространств:
| |||