Открыть главное меню

Изменения

362 байта добавлено ,  5 лет назад
м
===Ограниченные линейные операторы. Норма оператора===
 
Если векторные пространства <math>L_K</math> и <math>M_K</math> являются [[Линейное топологическое пространство|линейными топологическими пространствами]], то есть на них определены [[Топологическое пространство|топологии]], относительно которых операции этих пространств [[Непрерывное отображение|непрерывны]], то можно определить понятие ограниченного оператора: линейный оператор называется ограниченным, если он переводит [[ограниченные множества (топологические векторные пространства)|ограниченные множества]] в ограниченные (в частности, все непрерывные операторы ограничены). В частности, в [[нормированное пространство|нормированных пространствах]] множество ограничено, если норма любого его элемента ограничена, следовательно, в этом случае оператор называется ограниченным, если существует число ''N'' такое что <math>\forall x \in L_K, \|Ax\|_{M_K}\leqslant N\|x\|_{L_K}</math>. Можно показать, что в случае нормированных пространств непрерывность и ограниченность операторов эквивалентны. Наименьшая из постоянных ''N'', удовлетворяющая указанному выше условию, называется '''нормой оператора''':
 
<math>\|A\|=\sup_{\|x\|\not =0} \frac {\|Ax\|}{\|x\|}=\sup_{\|x\| =1} {\|Ax\|}.</math>