Непрерывное отображение: различия между версиями

м
(вернул уточнение в обмен на статьевую навигацию)
* Образ компактного множества при непрерывном отображении — [[компактное множество]].
 
* Непрерывная числовая функция на компактном множестве ограничена и достигает своих [[Верхняя и нижняя грани|верхней и нижней граней]]. Это свойство следует из предыдущего.
 
*Образ связного множества при непрерывном отображении - [[связное множество]].
 
* Сумма, разность и композиция непрерывных отображений также являются непрерывными отображениями.
* Из непрерывности [[линейное отображение|линейного отображения]] одного [[Линейное топологическое пространство|линейного топологического пространства]] в другое следует его ограниченность. В случае нормированных пространств непрерывность линейного отображения эквивалентна ограниченности.
*Теорема Стоуна-Вейерштрасса (обобщение классической [[аппроксимационная теорема Вейерштрасса|теоремы Вейерштрасса]]). Пусть <math>C(X)</math>- пространство непрерывных функций на [[компактное пространство|компактном]] [[хаусдорфово пространство|хаусдорфовом топологическом пространстве]] <math>X</math>. Пусть <math>B(X)</math> - подмножество <math>C(X)</math>, содержащее константы, замкнутое относительно композиции и [[линейная комбинация|линейной комбинации]] функций, а также содержащее пределы своих [[равномерная сходимость|равномерно сходящихся]] последовательностей функций. В таком случае <math>B(X)=C(X)</math> тогда и только тогда, когда <math>\forall x_1,x_2 \in X</math>, существует <math> f \in B</math>, такая что <math>f(x_1) \not =f(x_2)</math>.
 
==Связанные определения==