Непрерывное отображение: различия между версиями

Отображение <math>f\colon X \to Y</math> называется '''непрерывным в точке''' <math>x</math>, если для любой окрестности <math>V</math> точки <math>f(x)</math> найдется такая окрестность <math>U</math> точки <math>x</math>, что <math>f(U) \subset V</math>.
 
Отображение, непрерывноенепрерывно на некотором множестве тогда и только тогда, будеткогда оно непрерывнымнепрерывно в каждой точке данного множества.<ref name="point">В математическом анализе понятие непрерывности сначала формулируется ''локально'', в некоторой точке, а непрерывность на множестве определяется как непрерывность в каждой точке данного множества.</ref>
 
*В случае, если топологическое пространство удовлетворяет [[первая аксиома счетности|первой аксиоме счетности]], в частности для метрических пространств, непрерывность в точке эквивалентна т.н. секвенциальной непрерывности: если <math>\lim_{n \to \infty} x_n=x </math>, то <math>\lim_{n \to \infty} f(x_n)=f(x)</math>