Непрерывное отображение: различия между версиями

м
Нет описания правки
м
*прообраз всякого замкнутого множества замкнут;
*прообраз каждой окрестности точки области значений отображения является окрестностью соответствующей точки области определения;
*образ [[Замыкание (геометрия)|замыкания]] любого множества содержится в замыкании образа этого множества;
*замыкание прообраза любого множества содержится в прообразе замыкания.
Таким образом, каждая из этих формулировок может быть использована в качестве определения непрерывности отображения.
Пусть, <math>f\colon \mathbb{R}\supset E\to\mathbb{R}</math>. (или <math>\mathbb{C}</math>.). Функция <math>f</math> '''непрерывна в точке''' <math>a</math>, если для любого числа <math>\varepsilon > 0</math> найдётся такое число <math>\delta > 0</math>, что для всех точек <math>x\in E</math> условие <math>|x-a|< \delta</math> влечет <math>|f(x)-f(a)| < \varepsilon</math>.
 
Другими словами, функция <math>f</math> '''непрерывна в точке''' <math>a</math>, '''[[Предельная точка|предельной]] для множества''' <math>E</math>, если она ''имеет предел'' в данной точке и этот предел ''совпадает со значением функции'' в данной точке:
: <math>f\in C(\{a\}) \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to a}f(x) = f(a)</math>