Lp (пространство): различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Сорахеку (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
Сорахеку (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
||
Строка 53:
* Сходимость функций почти всюду не влечёт сходимость в пространстве <math>L^p</math>. Пусть <math>f_n(x)=n^{1/p}</math> при <math>x\in(0,1/n]</math> и <math>f_n(x)=0</math> при <math>x\in(1/n,1]</math>, <math>f_n\in L^p</math>. Тогда <math>f_n \to 0</math> почти всюду. Но <math>\|f_n\|_p^p=\int_0^1 |f_n|^p d\mu=1</math>. Обратное также неверно.
* Если <math>\|f_n-f\|_p \to 0</math> при <math>n\to \infty</math>, то существует ''подпоследовательность'' <math>f_{n_k}</math>, такая что <math>f_{n_k} \to f</math> почти всюду.
* <math>L^p</math> функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть <math>L^p_{C^{\infty}}(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m)</math> — подмножество <math>L^p(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m)</math>, состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда <math>L^p_{C^{\infty}}</math> [[
* <math>L^p(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m)</math> — [[
* Если <math>\mu</math> — конечная мера, например, [[вероятность]], и <math>1 \leqslant p \leqslant q \leqslant \infty</math>, то <math>L^q \subset L^p</math>. В частности, <math>L^2 \subset L^1</math>, то есть [[случайная величина]] с конечным вторым [[моменты случайной величины|моментом]] имеет конечный первый момент.
| |||