Размерность Минковского: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Ashik (обсуждение | вклад) |
|||
Строка 21:
Неформальное рассуждение, показывающее это, таково. Отрезок можно разбить на 2 части, подобные исходному отрезку с коэффициентом 1/2. Чтобы покрыть отрезок множествами диаметра <math>1/n</math>, нужно покрыть каждую из половин такими множествами. Но для половины их нужно столько же, сколько для всего отрезка множеств диаметра <math>2/n</math>. Поэтому для отрезка имеем <math>\rho(n)\approx 2\rho(n/2)</math>. То есть, при увеличении <math>n</math> в два раза <math>\rho(n)</math> увеличивается тоже в два раза. Иными словами, <math>\rho(n)</math> — линейная функция.
: Для квадрата аналогичное рассуждение дает <math>\rho(n)\approx 4\rho(n/2)</math>. То есть, при увеличении <math>n</math> в два раза <math>\rho(n)</math> увеличивается в 4 раза. Иными словами, <math>\rho(n)</math> — квадратичная функция.
: Наконец, кривая Коха состоит из 4 частей, каждая из которых подобна исходной кривой с коэффициентом 1/3. Поэтому для неё <math>\rho(n)\approx 4\rho(n/3)</math>. Подставляя <math>n=3^k</math>, получаем <math>\rho(3^k)\approx 4\rho(3^{k-1})\approx 4^2\rho(3^{k-2})\approx \dots\approx 4^k\rho(1)=4^{\log_3 n}\rho(1)=n^{\ln4/\ln3}\rho(1)</math>. Отсюда следует, что размерность равна <math>\ln4/\ln3</math>.
Формально: пусть n - шаг фрактала, на n-ом шаге у нас будет <math>4^{n}</math> равных отрезков, длиной <math>3^{-n}</math>. Возьмём за ε отрезок длиной <math>3^{-n}</math>, тогда чтобы покрыть всю кривую Коха, нам понадобится <math>4^{n}</math> отрезков. Для того, чтобы выполнялось условие ε→0, устремим n→<math>\infty</math>. Получим
<math>\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\ln(N_\epsilon)}{-\ln(\epsilon)}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln(4^{n})}{-\ln(3^{-n})}=\frac{\ln4}{\ln3}</math>
| |||