Согласно теореме, доказанной [[Эйлер, Леонард|Эйлером]], в графе без одиночных вершин эйлеров цикл существует [[тогда и только тогда]], когда граф [[Связный граф|связный]] и в нём отсутствуют вершины нечётной [[Степень вершины (теория графов)|вершины нечётной степени]].
ЭйлеровЭйлерова путьцепь в графе существует тогда и только тогда, когда граф связный и содержит не более двух вершин нечётной степени.<ref>[http://www.msclub.ce.cctpu.edu.ru/bibl/ODM/Ll2_5.html Эйлеровы пути]</ref><ref>В. Алексеев, В. Таланов, [http://www.intuit.ru/studies/courses/101/101/lecture/1550?page=3 Курс "Графы и алгоритмы", Лекция № 2 "Маршруты, связность, расстояния"]: Маршруты и связность в орграфах // [[Интуит.ру]], 27.09.2006</ref> Ввиду [[лемма о рукопожатиях|леммы о рукопожатиях]], число вершин с нечётной степенью должно быть четным. А значит Эйлеров путь существует только тогда, когда это число равно нулю или двум. Причём когда оно равно нулю, эйлеров путь вырождается в эйлеров цикл.
