Симплектическая геометрия: различия между версиями

Симплектическая геометрия имеет как сходства, так и различия с [[Риманова геометрия|римановой геометрией]], изучающей многообразия с выбранной квадратичной положительно определённой формой — [[метрический тензор|метрическим тензором]], — позволяющей определить расстояния на многообразии. В отличие от случая римановой геометрии, на симплектических многообразиях нет локального инварианта, — каким в римановом случае является [[тензор кривизны|кривизна]]. Это следует из [[теорема Дарбу в симплектической геометрии|теоремы Дарбу]], утверждающей, что достаточно малая окрестность любой точки 2n-мерного симплектического многообразия изоморфна некоторой области <math>\mathbb{R}^{2n}</math> со стандартной симплектической формой <math>\omega=\sum_j dp_j\wedge dq_j</math>. Ещё одним отличием от римановой геометрии является то, что не на любом многообразии можно задать симплектическую структуру: имеется ряд топологических ограничений. Так, многообразие должно быть чётномерным и [[Ориентация|ориентируемым]]. Кроме того, для случая замкнутого многообразия M его вторая группа [[гомологии|гомологий]] <math>H^2(M,\mathbb{R})</math> должна быть нетривиальной: симплектическая форма на компактном многообразии без края не может быть [[Дифференциальная форма#.D0.A1.D0.B2.D1.8F.D0.B7.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8B.D0.B5 .D0.BE.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F|точной]].