Телескопический признак: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Alprobit (обсуждение | вклад) |
Alprobit (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 22:
& \leq f(1) + 2 f(2) + 4 f(4) + \cdots + 2^n f(2^n) + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n).
\end{align}</math>
То есть, если ряд <math>\sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n)</math> сходится, то согласно [[Признак сравнения|признаку сравнения]] ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty} f(n)</math> тем более сходится.
2. Аналогично:
Строка 29:
& \leq f(1) + f(1) + f(2) +f(2) + f(3) + f(3) + \cdots + f(n) + f(n) + \cdots = 2 \sum_{n=1}^{\infty} f(n).
\end{align}</math>
То есть если ряд <math>\sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n)</math> расходится, то согласно [[Признак сравнения|признаку сравнения]] ряд <math>\sum_{n=
: <math>\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \leq \sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n) \leq 2 \sum_{n=1}^{\infty} f(n).</math>
Строка 47:
}}
Например, если рассматривать последовательность <math>u_n= c^n</math>, которая удовлетворяет требованиям теоремы при произвольном фиксированном <math>c\in\mathbb{N}\setminus\{1\}</math>, то согласно указанной теореме ряд <math>\sum_{n=1}^\infty f(n)</math> сходится или расходится одновременно с рядом <math>(c-1)\sum_{n=1}^\infty c^n f(c^n)</math>, а так как умножение ряда на ненулевую константу не влияет на его сходимость, то исходный ряд <math>\sum_{n=1}^\infty f(n)</math> сходится или расходится одновременно с рядом <math>\sum_{n=1}^\infty c^n f(c^n)</math> при любой выбранной константе <math>c\in\mathbb{N},\; c\neq 1</math>.
== Примечания==
| |||