Ковариантность и контравариантность (математика): различия между версиями

{{нет сносок}}
(викификация, стилевые правки)
({{нет сносок}})
'''Ковариантность и контравариантность''' — используемые в [[Математика|математике]] ([[Линейная алгебра|линейной алгебре]], [[Дифференциальная геометрия|дифференциальной геометрии]], [[Тензорный анализ|тензорном анализе]]) и в [[физик]]е понятия, характеризующие то, как [[тензор]]ы ([[скаляр]]ы, [[векторВектор (математика)|векторы]]ы, [[Оператор (математика)|операторы]], [[Билинейная форма|билинейные формы]] и т. д.) изменяются при преобразованиях [[базис]]ов в соответствующих [[Пространство|пространствах]] или [[многообразие|многообразиях]]. ''Контравариантными'' называют «обычные» компоненты, которые при смене базиса пространства изменяются с помощью преобразования, обратного преобразованию базиса. ''Ковариантными'' — те, которые изменяются так же, как и базис.
 
Связь между ковариантными и контравариантными координатами [[тензор]]а возможна только в [[Метрическое пространство|метрических пространствах]]  (в пространствах, где задан [[метрический тензор]]).
 
Термины ковариантность и контравариантность были введены [[Сильвестр, Джеймс Джозеф|Сильвестром]] в [[1853 год]]у для исследований по алгебраической теории инвариантов.
=== Контравариантные и ковариантные векторы ===
 
Пусть <math>V</math> — -некоторое конечномерное [[векторное пространство]], и в немнём задан некоторый базис <math>e_i, i=1..n</math>. Произвольный вектор <math>x</math> можно представить как линейную комбинацию векторов базиса: <math>x=\sum^n_{i=1}x_ie_i</math>. В целях упрощения записи (и по причинам, которые станут ясны ниже) обозначим координаты с верхним индексом и примем правило Эйнштейна - — если в выражении участвуют одинаковые разноуровневые индексы, то по ним предполагается суммирование. Таким образом можно записать: <math>x=x^ie_i</math>. Зададим новый базис с помощью матрицы преобразования <math>S</math>. По тем же соображениям введем нижние и верхние индексы (чтобы не писать знаки суммирования) - — <math>S^j_i</math>. Тогда <math>e'_i=S^j_ie_j</math> (предполагается суммирование по индексу j). Обозначив обратную матрицу <math>T=S^{-1}</math> можно записать: <math>e_j=T^i_je'_i</math>. Подставив эту формулу в координатное представление вектора x получим: <math>x=x^jT^i_je'_i</math>. Таким образом координаты вектора в новом базисе оказываются равными <math>x'^i=T^i_jx^j</math>, то есть преобразуются "«противоположно"» (обратно) изменению базиса. По этой причине такие векторы называют '''''контравариантными''''' - — изменяющимися противоположно базису. Контравариантные векторы - — это обычные векторы. Контравариантные векторы в координатном представлении обычно записывают как "«вектор-столбец"».
 
Пространство всех линейных функционалов, отображающих векторы в числа называют сопряженным пространством <math>V^*</math>. Оно также является векторным пространством той же размерности, что и основное пространство. В этом пространстве также можно определить базис. Обозначим элементы базиса сопряженного пространства с верхним индексом <math>g^i</math>. Любой функционал можно представить в этом базисе через координаты, которые будем обозначать нижними индексами. Тогда применяя правило Эйнштейна можем записать: <math>f=f_ig^i</math>, то есть любой линейный функционал можно записать просто набором чисел <math>f_i</math>, как обычный вектор (за исключением нижнего расположения индекса).
 
Выберем базис в сопряженном пространстве так, что <math>g^i(x)=x^i</math>, то есть эти функционалы находят <math>i</math>-ю координату вектора (проекцию на базисный вектор <math>e_i</math>). Такой базис называют ''дуальным'' (базису основного пространства). При смене базиса основного пространства необходимо сохранить это условие, то есть <math>g'^i(x)=x'^i=T^i_jx^j=T^i_jg^j(x)</math>. Таким образом, дуальный базис изменяется обратно изменению основного базиса. Координаты произвольного линейного функционала <math>f_i</math> будут меняться противоположно собственному базису (как и в любом пространстве), то есть с помощью матрицы <math>T^{-1}=S</math>. Следовательно, они будут меняться так, как основной базис!. Это свойство называют '''''ковариантностью'''''. Сами линейные функционалы в координатном представлении в дуальном базисе называют ''ковариантными векторами'' или кратко - — '''''ковекторами'''''. Внешне ковектор "«выглядит"» как обычный вектор - — в смысле обычного набора чисел, представляющих его координаты. Отличие ковектора от контрвариантного вектора заключается в правиле преобразования его координат при смене базиса - — они преобразуются так как базис, в отличие от контрвариантных векторов, преобразующихся противоположно базису. Для идентификации ковекторов используется нижний индекс, в отличие от обычных (контравариантных) векторов. Ковекторы в координатной форме записывают как "«вектор-строку"».
 
=== Контравариантность и ковариантность тензоров ===
 
Сказанное про контравариантность и ковариантность векторов можно обобщить на объекты с несколькими индексами - — [[тензор|тензоры]]ы, частными случаями которых и являются векторы и ковекторы.
 
По аналогии с линейным функционалом рассмотрим функционал, ставящий в соответствие нескольким (<math>k</math>) векторам пространства <math>V</math> некоторое число, обладающий свойством ''линейности'' по каждому вектору. Это так называемые '''''полилинейные функции'''''. Можно показать, что все <math>k</math>-линейные функции образуют линейное пространство, в котором можно также ввести базис и представить произвольную <math>k</math>-линейную функцию в координатном виде. Можно также показать, что их координаты преобразуются как базис основного пространства (так же как и ковариантные векторы). Поэтому такие полилинейные функции называют <math>k</math> ''раз коваринтными тензорами''. Их записывают с нижними индексами. Например, дважды ковариантный тензор обозначается так <math>A_{ij}</math>.
Аналогично можно рассматривать полилинейные функции не в основном пространстве, а в сопряженном пространстве <math>V^*</math>, совокупность которых также образует линейное пространство <math>V^{**}</math>, которое является сопряженным к <math>V^*</math>. В координатном представлении в дуальном базисе они преобразуются также как базис пространства <math>V^*</math>, а значит противоположно базису основного пространства <math>V</math>. То есть они обладают свойством контрвариантности и называются ''<math>k</math> раз контравариантным тензором''. Их обозначают с верхними индексами. В частности дважды контравариантный тензор запишется как <math>A^{ij}</math>. Для рассматриваемых обычно пространств выполняется так называемый канонический изоморфизм <math>V</math> и <math>V^{**}</math>, то есть эти пространства можно считать неразличимыми. Поэтому 1-раз контравариантный тензор можно считать эквивалентным обычному контравариантному вектору.
 
Обобщая приведенные определения можно рассматривать полилинейные функции от векторов и ковекторов одновременно. Соответственно, при смене базиса координатная запись такой функции будет преобразовываться с участием как матрицы преобразования основного базиса (в количестве ковекторов, участвующих в полилинейной функции), так и обратного ему (в количестве векторов полилинейной функции). Соответствующий тензор называют ''m-раз контрвариантным и k-раз ковариантным'' - — <math>T^m_k</math>. Для ковариантных компонент используют нижние индексы, для контравариантных - — верхние. Например, тензор 1-раз контрвариантный и 1 раз ковариантный тензор обозначается <math>A^i_j</math>. Общее количество индексов <math>k+m</math> называется ''рангом'' или ''валентностью'' тензора. Компонентами тензора являются значения полилинейной функции на базисных векторах. Например, <math>A^i_j=A(e^i,e_j)</math>.
 
Операция суммирования по одинаковым разноуровневым индексам тензоров называется ''сверткой'' по этим индексам. Как уже было указано выше по правилу Эйнштейна знак суммирования пропускают. В результате свертки тензора по одному индексу его ранг уменьшается на 2. Например, отображение некоторого контравариантного вектора с помощью некоторого линейного оператора в тензорной записи будет иметь вид <math>y^i= A^i_jx^j</math>. Линейные операторы являются классическим примером тензора типа <math>T^1_1</math>.
 
При преобразовании тензора типа <math>T^m_k</math> при смене базиса m раз используется обратная матрица преобразования базиса и k раз обратная. Например, тензор <math>A^i_j</math> типа <math>T^1_1</math> при смене координат преобразуется следующим образом:
<math>A^{i'}_j =T^q_j S^i_p A^p_q</math>
 
Вообще, необходимо понимать, что сам объект от представления его в базисе не зависит. Все преобразования - — это представления одного и того же объекта (тензора).
 
=== Метрический тензор ===
 
Если в линейном пространстве введено [[скалярное произведение]] <math>g</math> - — билинейная форма (или в тензорной терминологии - — ''дважды ковариантный тензор''), обладающий свойствами симметричности и невырожденности. Такие пространства (конечномерные) называют ''евклидовыми'' (при условии положительной определенности соответствующей квадратичной формы <math>g(x,x)</math>) или ''псевдоевклидовым'' (без ограничения знака квадратичной формы). Этот тензор называют ''метрическим тензором''. Компоненты этого тензора в данном базисе <math>g_{ij}=g(e_i,e_j)</math>. Если этот базис ортонормированный (такой базис всегда существует в (псевдо)евклидовом пространстве), то матрица компонент является диагональной. На диагонали в случае евклидового пространства - — единицы (единичная матрица). В случае псевдоевклидового пространства на диагонали кроме единиц имеются также и "«минус-единицы"». В общем случае, однако, базисы могут быть не ортогональными, поэтому метрический тензор может быть представлен и недиагональной матрицей (тем не менее в "«плоском"» пространстве всегда существует преобразование базиса, которое приводит его к диагональному виду).
 
С помощью метрического тензора скалярное произведение запишется как <math>g(x,y)=g_{ij}x^iy^j</math>. В пространствах со скалярным произведением имеет место канонический изоморфизм пространства <math>V</math> и сопряженного пространства <math>V^*</math>, то есть каждому вектору ставится в соответствие ковектор и наоборот. Это соответствие осуществляется как раз с помощью скалярного произведения или в тензорной записи - — с помощью метрического тензора. А именно, можно записать <math>x_i=g_{ij}x^j</math>. Эта операция называется ''опусканием или спуском индекса''. Обратное соответствие осуществляется с помощью контравариантного метрического тензора <math>x^j=g^{ij}x_i</math>. Эта операция называется ''поднятием или подъемом индекса''. Несложно показать, что матрицы ковариантного и контравариантного метрических тензоров взаимно-обратны, то есть <math>g_{ik}g^{kj}=\delta^j_i</math>. Скалярное произведение можно выразить как в контравариантных, так и в ковариантных векторах: <math>g(x,y)=g_{ij}x^iy^j=x_iy^j=x^iy_j=g^{ij}x_iy_j</math>.
 
В случае ортонормированного базиса в евклидовом пространстве метрический тензор - — единичная матрица, поэтому ковариантный вектор в координатной записи совпадает с контравариантным. Поэтому в этом случае деление векторов на контравариантные и ковариантные является лишними усложнением. Однако, уже при неортогональности базиса и (или) псевдоевклидовости пространства такое разграничение имеет значение. В псевдоевклидовом пространстве в ортогональном базисе ковекторы различаются знаками некоторых координат от обычного вектора. Система векторов и ковекторов в таком случае позволяет записывать формулу для длины вектора аналогично случаю евклидового пространства <math>x_ix^j</math>. В случае неортогональных (косоугольных) базисов в евклидовых (псевдоевклидовых) пространствах метрический тензор, преобразующий контравариантные векторы в ковариантные, не является диагональным. При этом длина вектора записывается также как в евклидовом пространстве с помощью контравариантных и ковариантных векторов. Все эти случаи объединяет одно - — метрический тензор (в данном базисе) имеет одинаковую матрицу для всех точек (векторов) пространства.
 
В пространствах с метрическим тензором «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» являются фактически разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — [[Вектор (математика)|обычного вектора]] или [[ковектор]]а. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть набор ковариантных координат) и контравариантный (то есть набор контравариантных координат). То же можно сказать о ковекторе. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с [[Метрический тензор|метрическим тензором]]. Содержательно же векторы и ковекторы различают лишь по тому, какое из представлений для них естественно. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление. Для ковариантного вектора естественным является свертка с обычными векторами без участия метрики. Примером ковариантного вектора является градиент скалярной функции <math>\mathbf{grad} f(\mathbf{x})=\frac {\partial f} {\partial x^i}=\partial_if</math>. Его свертка с контравариантным (обычным) вектором <math>dx^i</math> дает инвариант - — дифференциал функции <math>df(x)</math>. Таким образом, если мы принимаем <math>dx^i</math> в качестве обычных векторов пространства, то градиент должен быть ковектором, чтобы при свертывании не нужно было использовать метрический тензор. При этом сами векторы <math>dx^i</math> требуют при свертывании с такими же векторами использования метрического тензора <math>\ (dx)^2 = g_{ij} dx^i dx^j </math>.
 
Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности-контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения <math>\ dx^i</math>, являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свёртываются с <math>\ dx^i</math> посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантный вектор, что же с участием метрики — это контравариантный вектор. Если же пространство и координаты настолько абстрактны и замечательны, что нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает, или становится также чисто условным.
Нередко ковариантным вектором, особенно в физической литературе, называют разложение любого вектора (то есть вектора или ковектора, вектора касательного или кокасательного пространства) по дуальному базису. Тогда речь идет о наборе ковариантных координат любого объекта, обычно, однако, каждый тип объектов стараются записывать в естественном для него базисе, что соответствует основному определению.
 
== Обобщение на криволинейные базисы и искривленныеискривлённые пространства ==
 
Базисы евклидового (псеводоевклидового) могут быть и криволинейными. Классический пример криволинейных координат - — полярные координаты на евклидовой плоскости. В таком случае базисы можно считать линейными лишь в бесконечно малых окрестностях данной точки. Поэтому справедливым остается выражение для квадрата расстояния для достаточно близких точек: <math>(dx)^2= g_{ij}dx^idx^j</math>. В случае криволинейных координат метрический тензор меняется от точки к точке. Таким образом он представляет собой [[тензорное поле]] - — каждой точке пространства оказывается сопоставлен некоторый метрический тензор.
 
Более общая ситуация имеет место в случае искривленных пространств - — римановых (псевдоримановых) многообразий. Искривленное пространство можно наглядно представить для случая двумерной поверхности - — некоторая гладкая кривая поверхность в трехмерном пространстве (например, сферическая поверхность). Внутренняя геометрия такой поверхности (искривленной) - — это геометрия искривленного пространства. В общем случае искривленного пространства размерности <math>n</math> - — это произвольная (искривленная) гиперповерхность в пространстве большей размерности. Для гладких [[многообразие|многообразий]] со счетной [[база топологии|базой]] доказана [[теорема Уитни]] о вложении, согласно которой любое такое многообразие размерности <math>n</math> является вложенным в "«плоское"» (то есть неискривленное евклидово или псевдоевклидово) пространство размерности <math>2n</math>.
 
В искривленном пространстве могут и не существовать ортогональные и вообще линейные базисы. В общем случае приходится иметь дело именно с криволинейными базисами. В этом случае применение всего вышеуказанного формализма ковариантных и контравариантных векторов приобретает не просто особую важность, а становится неизбежным.
=== Общие определения ===
 
В случае криволинейных координат или искривленных пространств новые координаты являются, вообще говоря, нелинейными функциями старых координат: <math>x'^i=x'^i(x^1,x^2,...,x^n)</math>. Для бесконечно малых изменений старых координат <math>dx^j</math> можно определить изменения новых координат через якобиан указанных функций:
 
<math>dx'^i=\frac {\partial x'^i}{\partial x^j}dx^j</math>
называется ''контравариантным вектором''.
 
Для некоторой скалярной функции координат <math>f(x)</math> рассмотрим еееё градиент <math>\frac {\partial f(x)}{\partial x^i}</math>. При переходе к другим координатам имеем:
 
<math>\frac {\partial f(x)} {\partial x'^i}=\frac {\partial f(x)}{\partial x^j} \frac {\partial x^j}{\partial x'^i}</math>
 
Любой вектор <math>u</math> преобразовывающийся также, как градиент, то есть
 
<math>u'_i= \frac {\partial x^j}{\partial x'^i}u_j</math>
называется ''ковариантным вектором''.
 
Соответственно, ''<math>m</math> раз контравариантным и <math>k</math> раз ковариантным тензором'' (тензором типа <math>T^m_k</math>) называется объект преобразующийся при смене базиса применением <math>m</math> раз "«обратного"» преобразования <math>\frac {\partial x'^i}{\partial x^j}</math> и <math>k</math> раз "«прямого"» преобразования <math>\frac {\partial x^j}{\partial x'^i}</math>.
 
Например, дважды контравариантный тензор <math>A^{ij}</math> и дважды ковариантный тензор <math>A_{ij}</math> преобразуются по следующим законам:
 
== См. также ==
* [[Общековариантность]]
* [[Ковариантная производная]]
* [[Метрический тензор]]
* [[Ковариантность и контравариантность (программирование)]]
 
== Примечания ==
* {{Citation | last1=Sternberg | first1=Shlomo | title=Lectures on differential geometry | publisher=Chelsea | location=New York | isbn=978-0-8284-0316-0 | year=1983}}.
 
{{rq|topic=math|checktranslate|cleanupwikify}}
{{нет сносок}}
 
[[Категория:Тензорное исчисление]]