Алгебраическая теория чисел: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Maqivi (обсуждение | вклад) перенесено из ст. Теория чисел, авторы указаны на странице истории изменений статьи |
Danneks (обсуждение | вклад) уточнения, запрос источника и стаб-шаблон (контекст есть, но не сказать, чтобы тема алгебраической теории чисел раскрыта) |
||
Строка 1:
'''Алгебраическая теория чисел'''
В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают [[Корень многочлена|корни многочленов]] с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают [[целое алгебраическое число|целые алгебраические числа]], то есть корни [[унитарный многочлен|унитарных многочленов]] с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство [[Факториальное кольцо|факториальности]], то есть единственности разложения на простые множители.
Теория алгебраических чисел обязана своим появлением изучению [[Диофантово уравнение|диофантовых уравнений]] и в том числе попыткам доказать [[Великая теорема Ферма|теорему Ферма]]. [[Куммер, Эрнст Эдуард|Куммеру]] принадлежит равенство
: <math>x^n=z^n-y^n=\prod^{n}_{i=1}(z-a_i y)</math>, где <math>a_i</math> — корни степени <math>n</math> из единицы.
Таким образом Куммер определил новые целые числа вида <math>z+a_i y</math>. Позднее Лиувилль показал, что если алгебраическое число является корнем уравнения степени <math>n</math>, то к нему нельзя подойти ближе чем на <math>Q^{-n}</math>, приближаясь дробями вида <math>P/Q</math>, где <math>P</math> и <math>Q</math> — целые взаимно простые числа<ref name="bse">[http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/150398/Чисел Чисел теория] // [[Большая советская энциклопедия]]</ref>.
Строка 9:
После определения алгебраических и трансцендентных чисел в алгебраической теории чисел выделилось направление, которое занимается доказательством трансцендентности конкретных чисел, и направление, которое занимается алгебраическими числами и изучает степень их приближения рациональными и алгебраическими<ref name="bse"/>.
Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как [[теория дивизоров|теорию дивизоров]], [[теория Галуа|теорию Галуа]], теорию полей классов, [[дзета-функция|дзета-]] и [[L-функция Дирихле|''L''-функции]] Дирихле, [[когомология|когомологии групп]] и многое другое.{{нет АИ|17|07|2014}}
Одним из основных приёмов является вложение поля алгебраических чисел в своё пополнение по какой-то из метрик — [[аксиома Архимеда|архимедовой]] (например, в поле вещественных или комплексных чисел) или неархимедовой (например, в поле [[p-адическое число|''p''-адических чисел]]).
Строка 18:
== Литература ==
* [http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/119/ Алгебраическая теория чисел] // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
{{math-stub}}
[[Категория:Теория чисел]]
| |||