Теория операторов: различия между версиями

Отображение <math>T</math> из [[векторное пространство|векторного пространства]] <math>X</math> в [[векторное пространство]] <math>Y</math> называется [[линейный оператор|линейным оператором]] если <math>T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)</math> для любых <math>x</math> и <math>y</math> в <math>X</math> и любых скаляров <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>. Часто пишут <math>Tx</math> вместо <math>T(x)</math>. Линейный оператор из [[нормированное пространство|нормированного пространства]] <math>X</math> в [[нормированное пространство]] <math>Y</math> называется ограниченным если найдется положительное вещественное число <math>M</math> такое что <math>\lVert Tx\rVert\leqslant M\lVert x\rVert</math> для всех <math>x</math> в <math>X</math>. Наименьшая константа <math>M</math> удовлетворяющая такому условию называется ''нормой оператора'' <math>T</math> и обозначается <math>\lVert T\rVert</math>. Нетрудно видеть что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда когда он [[непрерывное отображение|непрерывен]]. Под термином «оператор» в [[функциональный анализ|функциональном анализе]] обычно понимают [[ограниченный линейный оператор]].

Множество всех (ограниченных линейных) операторов из [[нормированное пространство|нормированного пространства]] <math>X</math> в [[нормированное пространство]] <math>Y</math> обозначается <math>L(X,\;Y)</math>. В случае когда <math>X=Y</math> пишут <math>L(X)</math> вместо <math>L(X,\;X)</math>. Если <math>H</math> — [[Гильбертово пространство]], то обычно пишут <math>B(H)</math> вместо <math>L(H)</math>. На <math>L(X,\;Y)</math> можно ввести структуру [[векторное пространство|векторного пространства]] через <math>(T+S)x=Tx+Sx</math> и <math>(\alpha T)x=T(\alpha x)=\alpha(Tx)</math>, где <math>T,\;S\in L(X,\;Y)</math>, <math>x,\;y\in X</math>, а <math>\alpha</math> — произвольный скаляр. С введеннойвведённой выше ''операторной нормой'', <math>L(X,\;Y)</math> превращается в [[нормированное пространство]].

В частности, <math>\lVert S+T\rVert\leqslant\lVert S\rVert+\lVert T\rVert</math> и <math>\lVert\alpha T\rVert=\left|\alpha\right|\cdot\lVert T\rVert</math> для любых <math>T,\;S\in L(X,\;Y)</math> и произвольного скаляра <math>\alpha</math>. Пространство <math>L(X,\;Y)</math> является [[Банахово пространство|Банаховымбанаховым]] тогда и только тогда когда <math>Y</math> — [[Банахово пространство|Банаховобанахово]].

Пусть <math>X,\;Y</math> и <math>Z</math> — нормированные пространства, <math>S\in L(X,\;Y)</math> и <math>T\in L(Y,\;Z)</math>. Композиция <math>S</math> и <math>T</math> обозначается <math>TS</math> и называется «произведением» операторов <math>S</math> и <math>T</math>. ЗаметимПри чтоэтом <math>TS\in L(X,\;Z)</math> и <math>\lVert TS\rVert\leqslant\lVert T\rVert\cdot\lVert S\rVert</math>.

Если <math>X</math> — [[Банаховобанахово пространство]], то <math>L(X)</math>, соснащённое введенным выше умножениемпроизведением, является [[Банахова алгебра|Банаховойбанаховой алгеброй]].

# Классы операторов. В частности, [[компактный оператор|компактные операторы]], [[Фредгольмов оператор|Фредгольмовыфредгольмовы операторы]], [[Изоморфизм (математика)|изоморфизмы]], [[изометрия (математика)|изометрии]], [[строго сингулярный оператор|строго сингулярные операторы]] и т. п. Изучают также неограниченные операторы и частично определенные операторы, в частности [[замкнутый оператор|замкнутые операторы]].

#* На [[Гильбертово пространство|Гильбертовыхгильбертовых пространствах]] изучают [[самосопряженныйсамосопряжённый оператор|самосопряженныесамосопряжённые]], [[нормальный оператор|нормальные]], [[унитарный оператор|унитарные]], [[положительный оператор|положительные]] операторы и др.

#* На [[Банахова решеткарешётка|Банаховыхбанаховых решеткахрешётках]]: [[положительный оператор|положительные операторы]], [[регулярный оператор|регулярные операторы]] и др.