Открыть главное меню

Изменения

добавления по нестандартному анализу
'''Анализ''' как современный раздел математики — значительная часть [[Математика|математики]], исторически выросшая из классического [[Математический анализ|математического анализа]]{{переход|#Классический математический анализ}}, и охватывающая, кроме [[Дифференциальное исчисление|дифференциального]] и [[Интегральное исчисление|интегрального]] исчислений, входящих в классическую часть, такие разделы, как теории функций вещественного{{Переход|#Теория функций вещественного переменного}} и комплексного{{Переход|#Теория функций комплексного переменного}} переменного, теории дифференциальных и интегральных уравнений{{Переход|#Дифференциальные и интегральные уравнения}}, [[вариационное исчисление]]{{Переход|#Вариационное исчисление}}, [[гармонический анализ]]{{Переход|#Гармонический анализ}}, [[функциональный анализ]]{{Переход|#Функциональный анализ}}, теория динамических систем и эргодическая теория{{Переход|#Теория динамических систем и эргодическая теория}}, глобальный анализ{{Переход|#Глобальный анализ}}. [[Нестандартный анализ]]{{Переход|#Нестандартный анализ}} — раздел на стыке [[Математическая логика|математической логики]] и анализа, применяющий методы [[Теория моделей|теории моделей]] для альтернативной формализации, прежде всего, классических разделов.
 
Считается одним из трёх основных направлений математики, наряду с [[Алгебра|алгеброй]] и [[Геометрия|геометрией]]. Основной отличительный признак анализа  в сравнении с другими направлениями  — наличие функций переменных величин как предмета исследования. При этом, если [[Элементарная математика|элементарные]] разделы анализа в учебных программах и материалах часто объединяют с [[Элементарная алгебра|элементарной алгеброй]] (например, существуют многочисленные учебники и курсы с наименованием «Алгебра и начала анализа»), то современный анализ в значительной степени использует методы современных геометрических разделов, прежде всего, [[дифференциальная геометрия и топология|дифференциальной геометрии и топологии]].
 
== История ==
К середине XX века получили самостоятельное развитие такие направления как [[теория динамических систем]] и [[эргодическая теория]] ([[Биркгоф, Джордж Дэвид|Джордж Биркгоф]], [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров]], фон Нейман), существенно обобщены результаты гармонического анализа ([[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягин]]). В 1940-е — 1950-е годы, отталкиваясь от работ [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]] и благодаря полученным результатам в [[Дифференциальная геометрия и топология|дифференциальной геометрии]], выделился в самостоятельное направление анализ на [[Многообразие|многообразиях]] — глобальный анализ{{Переход|#Глобальный анализ}}. Приблизительно в то же время результаты функционального анализа нашли применение в прикладных сферах, в частности, в работах [[Канторович, Леонид Витальевич|Канторовича]] 1930-х — 1940-х годов инструменты функционального анализа использованы в [[Вычислительная математика|вычислительной математике]] и [[Экономика|экономике]] ([[линейное программирование]]), в трудах [[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягина]] и учеников в 1950-е годы создана [[теория оптимального управления]].
 
В начале 1960-х годов [[Робинсон, Абрахам|Робинсоном]] создан [[нестандартный анализ]]{{Переход|#Нестандартный анализ}} — альтернативная формализация как классических, так и смежных областей анализа с использованием инструментария [[Теория моделей|теории моделей]]. Если вначале нестандартный анализ рассматривался лишь как логическая техника обоснования плохо формализованных в классических разделах понятий (прежде всего, [[Бесконечно малые и бесконечно большие величины|бесконечно больших и бесконечно малых величин]]), то с разработкой в конце 1970-х годов {{нп2|Нельсон, Эдвард|Нельсоном|en|Edward Nelson}} {{iw|Теория внутренних множеств|теории внутренних множеств|en|Internal set theory}} и последовавших обобщений, обнаружилось, что конструкции нестандартного анализа применимы практически во всех отраслях математики, как естественно присущие любым математическим объектам{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|с=viii|loc=…нестандартный анализ рассматривали как довольно тонкую и даже экзотическую логическую технику, предназначенную для обоснования метода актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел <…> В конце 70-х годов после опубликования теории внутренних множеств Э. Нельсона (и несколько позже теорий внешних множеств К. Хрбачека и Т. Каваи) взгляды на место и роль нестандартного анализа коренным образом обогатились и видоизменились. В свете новых открытий нестандартные элементы стало возможно рассматривать <…> как неотъемлемые части любых привычных математических объектов. Возникла установка, состоящая в том, что каждое множество образовано стандартными и нестандартными элементами}}. Кроме того, благодаря выразительности языка нестандартного анализа его средствами выявлены результаты, которые не были обнаружены в классическом анализе, но при этом принципиально могли бы быть получены и стандартными, классическими средствами<ref name="dragalin">{{Из|МЭ|статья=Нестандартный анализ|ссылка=http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3463/|автор=[[Драгалин, Альберт Григорьевич|Драгалин А. Г.]]}} <cite>С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа</cite></ref>. Также в 1970-е — 1980-е годы в развитие [[метод форсинга|метода форсинга]] (созданного [[Коэн, Пол Джозеф|Коэном]] для доказательства неразрешимости в [[ZFC]] [[Континуум-гипотеза|континуум-гипотезы]]) в работах [[Соловей, Роберт|Соловея]], [[Скотт, Дана|Скотта]] и {{нп2|Вопенка, Петр|Вопенки|cs|Petr Vopěnka}} разработана теория {{iw|Булевозначная модель|булевозначных моделей|en|Boolean-valued model}}, на основе которой оформилась самостоятельная ветвь нестандартного анализа — булевозначный анализ<ref>{{книга
В начале 1960-х годов [[Робинсон, Абрахам|Робинсоном]] создан [[нестандартный анализ]]{{Переход|#Нестандартный анализ}} — альтернативная формализация как классических, так и смежных областей анализа с использованием инструментария [[Теория моделей|теории моделей]].
| автор = А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе
<!--
| заглавие = Введение в булевозначный анализ
Основные направления анализа в 1970-е — 1990-е годы — …-->
| место = М.
| издательство = Наука
| год = 2005
| страниц = 526
| isbn = 5-02-033710-2
| тираж =
| ref =
}}</ref>.
<!--Основные направления анализа в 1970-е — 1990-е годы — …-->
 
== Классический математический анализ ==
== Нестандартный анализ ==
{{Main|Нестандартный анализ}}
Нестандартный анализ — формализация ключевых понятий анализа средствами [[Математическая логика|математической логики]], основная идея — формальная [[Абстракция актуальной бесконечности|актуализация]] бесконечно больших и бесконечно малых величин, и логическая формализация манипуляций с ними. При этом, средства нестандартного анализа оказываются весьма удобными, притом что ими получены ранее не найденные из-за недостатка наглядности результаты классического математического анализа<ref name="dragalin"/>.
{{Раздел не написан}}
 
Нестандартный анализ разбивается на два направления: семантическое, использующее на [[Теория моделей|теоретико-модельные]] инструменты и синтаксическое, использующие разного рода расширения стандартной [[Теория множеств|теории множеств]]. Семантическое направление базируется на [[локальная теорема Мальцева|локальной теореме Мальцева]], позволяющей переносить свойства с локальных частей моделей на всю модель{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|с=11|loc=А. Робинсон опирался на локальную теорему А. И. Мальцева, выделяя её как результат "основополагающего значения для нашей теории»}}. Существует крупная самостоятельная ветвь семантического направления нестандартного анализа — булевозначный анализ, конструирующийся вокруг понятия {{iw|Булевозначная модель|булевозначной модели|en|Boolean-valued model}}{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|c=xii}}. Синтаксическое направление основывается на {{iw|Теория внутренних множеств|теории внутренних множеств|en|Internal set theory}}, ключевой идеей которого является введение понятия нестандартных элементов и предиката стандартности, и аксиоматизация присущих им свойств. Другой вариант синтаксической формализации — {{Нп5|альтернативная теория множеств||en|Alternative set theory}}<ref>{{книга
|автор = П. Вопенка
|заглавие = Математика в альтернативной теории множеств
|оригинал = Mathematics in The Alternative Set Theory
|ссылка =
|викитека =
|ответственный = перевод А. Драгалина
|издание =
|место = М.
|издательство = Мир
|год = 1983
|страниц = 152
|серия = Новое в зарубежной математике
|isbn =
|тираж = 6000
}}</ref>.
 
== Приложения ==
| автор = [[Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогоров]]
| ref = БСЭ, Математика
}}
* {{книга
|автор = Гордон Е. И., Кусраев А. Г., [[Кутателадзе, Самсон Семёнович|Кутателадзе С. С.]]
|заглавие = Инфинитезимальный анализ: избранные темы
|ссылка =
|викитека =
|ответственный =
|издание =
|место = М.
|издательство = Наука
|год = 2011
|страниц = 398
|серия =
|isbn = 978-5-02-036137-9
|тираж =
|ref = Гордон, Кусраев, Кутателадзе
}}
* {{книга
| автор = [[Дьёдонне, Жан|Dieudonné, J.]]
| заглавие = History of Functional Analysis
| место = Amsterdam
| издательство = North Holland
| год = 1981
| allpages = 314
| серия = Notas de Matematica, vol. 77
| isbn = 0-444-84148-3
| тираж =
| ref = Дьёдонне
}}