Уравнение Орра — Зоммерфельда: различия между версиями

дополнение: другая форма уравнения
(создание статьи)
 
(дополнение: другая форма уравнения)
\vec{v} = U(z) \vec{e}_x + \vec{v}'(x,z),
</math>
где <math>U(z)</math> — профиль стационарного течения, можно перейти к линеаризованным уравнениям Навье-Стокса для возмущений, которые допускают возмущениярешения в виде бегущих волн <math>\vec{v}' \sim \exp(i k (x - c t))</math>, где <math>k</math> — [[волновое число]] возмущений вдоль оси <math>x</math>, а <math>c</math> — скорость их распространения.
 
Последовательно исключая из уравнений [[Давление|давление]] и горизонтальную компоненту скорости возмущений непосредственно или путём перехода к [[Функция тока|функции тока]], можно привести систему к одному уравнению для вертикальной компоненты, потенциала скорости или функции тока, независимо от выбранных преобразований:
(U - c) \left( \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} - k^2 \varphi \right) - \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} \varphi = \frac{1}{i k \mathrm{Re}} \left( \frac{\partial^4 \varphi}{\partial z^4} - 2 k^2 \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} + k^4 \varphi \right),
</math>
где <math>\mathrm{Re}</math> — безразмерное [[число Рейнольдса]]. Уравнение дополняется граничными условиями для возмущений, соответствующими задаче. Например, для течения в канале с двумя твёрдыми стенками, на них будет выполняться
 
При записи возмущений в виде <math>\vec{v}' \sim \exp(i k x + \lambda t))</math>, где <math>\lambda</math> - инкремент (скорость роста) возмущений, можно получить несколько иной вид уравнения:
: <math>
(\lambda + i k U) \left( \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} - k^2 \varphi \right) - i k \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} \varphi = \frac{1}{\mathrm{Re}} \left( \frac{\partial^4 \varphi}{\partial z^4} - 2 k^2 \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} + k^4 \varphi \right),
</math>
 
Уравнение дополняется граничными условиями для возмущений, соответствующими задаче. Например, для течения в канале с двумя твёрдыми стенками, на них будет выполняться
: <math>
\varphi = 0, \frac{\partial \varphi}{\partial z} = 0,