Анализ (раздел математики): различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Bezik (обсуждение | вклад) →История: уточнения |
Bezik (обсуждение | вклад) →Глобальный анализ: немного наполнил |
||
Строка 75:
== Глобальный анализ ==
{{Falseredirect|Глобальный анализ}}
'''Глобальный анализ''' — раздел анализа, изучающий функции и дифференциальные уравнения на [[Многообразие|многообразиях]] и [[Векторное расслоение|векторных расслоениях]]<ref>{{статья
|автор = [[Смейл, Стивен|Smale S.]]
|заглавие = What is Global Anaysis?
|ссылка =
|язык = en
|издание = American Mathematical Monthly
|тип =
|год = 1969
|том = 76
|номер = 1
|страницы = 4—9
|doi = 10.2307/2316777
|issn = 0002-9890
}}</ref>; иногда это направление обозначается как «анализ на многообразиях».
Одно из первых направлений глобального анализа — [[теория Морса]] и её применение к задачам о [[Геодезическая|геодезических]] на [[Риманово многообразие|римановых многообразиях]]; направление получило название «вариационное исчисление в целом». Основные результаты — [[лемма Морса]], описывающая поведение гладких функций на гладких многообразиях в невырожденных особых точках, и такой гомотопический инвариант, как [[категория Люстерника — Шнирельмана]]. Многие из результатов обобщены на случай бесконечномерных многобразий ({{iw|Гильбертово многообразие|гильбертовых многообразий|en|Hilbert manifold}}, {{iw|Банахово многообразие|банаховых многообразий|en|Banach manifold}}). Результаты, полученные в рамках глобального анализа особых точек нашли широкое и для решения чисто топологических задач, таковы {{iw|теорема периодичности Ботта||en|Bott periodic theorem}}, во многом послужившая основанием для самостоятельного раздела математики — [[K-теория|<math>K</math>-теории]] и [[теорема об h-кобордизме|теорема об <math>h</math>-кобордизме]], следствием которой является выполнение [[Гипотеза Пуанкаре|гипотезы Пуанкаре]] для размерности, превосходящей 4.
Ещё один крупный блок направлений глобального анализа, получивший широкое применение в физике и экономике — [[теория особенностей]], [[теория бифуркаций]] и [[теория катастроф]]; основное направление исследований данного блока — классификация поведений дифференциальных уравнений или функций в окрестностях [[Критическая точка (математика)|критических точек]] и выявление характерных особенностей соответствующих классов.
== Нестандартный анализ ==
| |||