Википедия

Коммутант: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
уточнение
"слово коммутант означает два разных понятия" — или две разных статьи, или всё-таки об общем понятии; выбрал второе. Коммутант алгебры — неи
Строка 1:
'''Коммутант''' в [[Общая алгебра|общей алгебре]] — подсистема [[Алгебра (универсальная алгебра)|алгебр]], содержащих [[Группа (математика)|групповую]] структуру ([[подгруппа]], [[подкольцо]], в наиболее общем случае — подгруппа [[мультиоператорная группа|мультиоператорной группы]]{{Переход|#Коммутант мультиоператорной группы}}), показывающая степень [[Коммутативная операция|некоммутативности]] групповой операции.
Слово '''«коммутант»''' в [[Абстрактная алгебра|алгебре]] может означать два разных, но родственных понятия: коммутант [[группа (математика)|группы]] или коммутант [[алгебра над кольцом|алгебры]]. Коммутант — это некоторая подструктура (подгруппа, подалгебра), позволяющая измерять степень некоммутативности умножения. В частности, коммутант тривиален (состоит из одного элемента) тогда и только тогда, когда умножение в данной структуре (группе, алгебре) коммутативно: <math>ab=ba</math> для всех элементов <math>a,b.</math> Коммутант группы является наименьшей [[нормальная подгруппа|нормальной подгруппой]], такой что [[факторгруппа|фактор]] по ней является [[абелева группа|абелевой группой]].
 
Коммутант группы{{Переход|#Коммутант кольца}} является наименьшей [[нормальная подгруппа|нормальной подгруппой]], такой что [[факторгруппа|фактор]] по ней является [[абелева группа|абелевой группой]]. Коммутант кольца{{Переход|#Коммутант кольца}} — [[Идеал кольца|идеал]], порождённый всевозможными произведениями элементов.
== Коммутант группы ==▼
''Коммутант группы'' <math>G~</math> (''производная группа'' или ''второй член [[нижний центральный ряд группы|нижнего центрального ряда группы]]'') — множество всевозможных произведений конечного числа [[Словарь_терминов_теории_групп#К|коммутаторов]] пар элементов группы <math>G~</math>. Обычно коммутант группы <math>G~</math> обозначается <math>[G, G],\; G',\; T_2(G)~</math> или <math>K(G)</math>.
: <math> [G,G] = \langle ghg^{-1}h^{-1} \vert g,h\in G \rangle </math>
 
== Коммутант мультиоператорной группы ==
Здесь <math>\langle ~ \rangle </math> обозначает подгруппу, порождённую указанным множеством элементов. Выражение <math>ghg^{-1}h^{-1}</math> называется ''коммутатором'' элементов <math>g</math> и <math>h</math>, обозначается <math>[g,h]</math>.
Наиболее [[Универсальная алгебра|универсально]] коммутант определяется для [[мультиоператорная группа|мультиоператорной группы]]. Коммутантом мультиоператорной алгебры <math>\mathfrak G = (G, +, -, 0, \Sigma)</math> называется её [[Идеал (алгебра)|идеал]], порождённый её коммутаторами, то есть элементами вида:
: <math>[g_1, g_2] = -g_1 - g_2 + g_1 + g_2</math>,
а также элементами:
: <math>-\sigma(g_1, \dots, g_n) - \sigma(h_1, \dots, h_n) + \sigma (g_1 + h_1, \dots, g_n + h_n)</math>
для каждой <math>n</math>-арной операции <math>\sigma \in \Sigma</math> из дополнительной сигнатуры мультиоператорной группы.
 
▲== Коммутант группы ==
Более общо, если <math>L,M~</math> — подмножества <math>G~</math>, то их взаимным коммутантом называют подгруппу <math>[L,M],~</math> порождённую всеми коммутаторами вида <math>[a,b]:a\in L,b\in M.~</math>
''Коммутант группы''<ref>В английском языке коммутант группы называется «коммутаторной подгруппой» — {{lang-en|commutator subgroup}}, поэтому возможна путаница с понятием [[коммутатор (теория групп)|коммутатора элементов группы]].</ref> <math>G~</math> (''производная группа'' или ''второй член [[нижний центральный ряд группы|нижнего центрального ряда группы]]'') — подгруппа, порождённая множеством <math>\{ [g_1, g_2] \mid g_1,g_2\in G \rangle</math> всевозможных произведений конечного числа коммутаторов пар элементов группы <math>G</math>. Используются следующие обозначения для коммутанта группы <math>G</math>: <math>[G, G],\; G',\; T_2(G)~</math>, <math>K(G)</math>. (При этом коммутаторы в различных источниках записывают по-разному: встречается (в мультипликативной записи) как <math>[g_1, g_2] = g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}</math>, так и <math>[g_1, g_2] = g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2</math>.
 
* Коммутант группы является вполне [[характеристическая подгруппа|характеристической подгруппой]], а любая подгруппа, содержащая коммутант, является [[нормальная подгруппа|нормальной]].
* Взаимный коммутант нормальных подгрупп — нормальная подгруппа.
* <math>g[L,M]g^{-1}=[gLg^{-1},gMg^{-1}]~</math>▼
* [[Теорема Гуревича]] в топологии утверждает, что для связного [[Клеточное пространство|клеточного пространства]] <math>H_1(X)=\pi_1(X)_{ab}</math>. Таким образом теорию [[Гомология (топология)|гомологий]] в топологии можно рассматривать как абелизацию теории [[Гомотопические группы|гомотопий]] (определение абелизации см. ниже). Это утверждение можно сделать точным ([[теорема Дольда—Тома]]).▼
 
=== Ряды коммутантов ===
Строка 19 ⟶ 20 :
: <math>G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}], n\in \mathbb N</math>
 
Группы <math>G^{(2)},G^{(3)},\ldots</math> называются ''второй производной группой'', ''третьей производной группой'' и т. д так далее. Убывающий ряд групп:
: <math>G=G^{(0)}\vartriangleright G^{(1)}\vartriangleright G^{(2)}\vartriangleright \ldots </math>
 
называется '''производным рядом''', или '''рядом коммутантов'''. <ref>Эту конструкцию не нужно путать с [[нижний центральный ряд группы|нижним центральным рядом группы]], который определяется как <math>G_n := [G_{n-1},G]</math>, а не <math>G^{(n)} := [G^{(n-1)},G^{(n-1)}]</math></ref>.
 
Для конечной группы, производный ряд рано или поздно стабилизируется на {{не переведено 5|совершенная группа|совершенной группе||Perfect group}}, то есть группе, коммутатор которой совпадает с ней самой. Если эта группа [[тривиальная группа|тривиальна]], исходная группа <math>G</math> называется [[разрешимая группа|разрешимой]]. Для бесконечной группы производный ряд не обязательно стабилизируется за конечное число шагов, однако его можно доопределить при помощи [[трансфинитная индукция|трансфинитной индукции]], получив '''трансфинитный производный ряд''', который рано или поздно приведёт к совершенной группе.
Строка 31 ⟶ 32 :
Существует категорная интерпретация отображения <math>\varphi:G\to G^{ab}</math>. А именно, <math>\varphi</math> [[универсальное свойство|универсально]] по отношению ко всем гомоморфизмам из <math>G</math> в абелеву группу: для любого такого гомоморфизма <math>f:G\to H</math> существует единственный гомоморфизм <math>F:G^{ab}\to H</math>, такой что <math>f=F\circ \varphi</math>. Эквивалентным образом, [[забывающий функтор]] из [[Категория абелевых групп|категории абелевых групп]] в категорию всех групп имеет [[Сопряжённые функторы|левый сопряжённый]] — функтор абелизации, сопоставляющий группе её фактор по коммутанту и очевидным образом действующий на морфизмах.
 
Абелизацию группы <math>G</math> можно вычислить как первые целочисленные [[Гомология (топология)|гомологии группы]]: <math>G_{ab} = H_1 (G, \mathbb{Z} )</math>.
 
▲* [[Теорема Гуревича]] в [[Алгебраическая топология|алгебраической топологии]] утверждает, что для связного [[Клеточное пространство|клеточного пространстваCW-комплекс]]а <math>H_1(X)=\pi_1(X)_{ab}</math>. Таким образом теорию [[Гомология (топология)|гомологий]] в топологии можно рассматривать как абелизацию теории [[Гомотопические группы|гомотопий]] (определение абелизации см. ниже). Это утверждение можно сделать точным ([[{{iw|теорема Дольда—Тома]]Дольда — Тома||en|Dold–Thom theorem}}).
== Коммутант алгебры ==▼
Пусть <math>A</math> — некоторая алгебра. Её ''коммутантом'' называется [[двусторонний идеал]], порождённый коммутаторами её элементов. Это наименьший идеал, [[факторалгебра|фактор]] по которому коммутативен.
: <math>[A,A] = \langle [a,b] \vert a,b\in A \rangle</math>
Здесь <math>[a,b]=ab-ba</math> — коммутатор элементов <math>a,b,\; \langle ~ \rangle</math> — идеал, порождённый данным множеством.
 
=== Взаимный коммутант ===
== Терминология ==
'''Взаимный коммутант''' подмножеств <math>L, M</math> носителя группы <math>G</math> — подгруппа <math>[L, M]</math>, порождённая всеми коммутаторами вида <math>[l,m]: l\in L, m\in M</math>. Взаимный коммутант нормальных подгрупп — нормальная подгруппа.
На английском языке коммутант группы называется ''commutator subgroup'', то есть «подгруппа-коммутатор», поэтому возможна путаница с понятием ''commutator'' — [[Словарь терминов теории групп#К|коммутатор]] (элементов группы).
 
Для произвольных элементов группы <math>g \in G</math> имеет место следующее соотношение:
▲*: <math>g[L,M]g^{-1}=[gLg^{-1},gMg^{-1}]~</math>.
 
▲== Коммутант алгебрыкольца ==
Коммутант кольца <math>R</math> (также — ''квадрат кольца'')<ref>В [[Теория колец|теории колец]] [[Коммутатор (теория колец)|коммутатором]] элементов называется другая комбинация: <math>[a, b] = ab - ba</math>, а ''коммутаторным идеалом'' называют идеал (кольца, алгебры), порождённый всеми коммутаторами; в литературе иногда такой коммутаторный идеал тоже называют коммутантом кольца (алгебры).</ref> — [[Идеал кольца|идеал]], порождённый всеми произведениями: <math>\{ab \mid a, b \in R\}</math>, обозначается <math>[R, R]</math> или <math>R^2</math>. Такое упрощение в сравнении с универсальным определением коммутанта возникает вследствие коммутативности аддитивной группы кольца — коммутатор элементов <math>r_1, r_2 \in R</math> всегда обращается нуль, а условие относительно дополнительной сигнатуры (кольцевого умножения) выражается необходимостью включения в порождающее множество всех элементов следующего вида:
: <math>-r_1r_2 - s_1s_2 + (r_1+r_2)(s_1+s_2) = r_1s_2 + r_2s_1</math>.
 
== Примечания ==
{{Примечания}}
 
== Литература ==
* {{книга
* {{книга|автор=Курош А.Г.|заглавие=Теория групп|издание=3-е изд|место={{М}}|издательство=[[Наука (издательство){{!}}Наука]]|год=1967|страниц=648}}▼
| автор = [[Курош, Александр Геннадиевич|А. Г. Курош]]
* {{книга|автор=Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И.|заглавие=Основы теории групп|издание=5-е изд|издательство=Лань|год=2009|страниц=288|isbn=978-5-8114-0894-8}}
| часть = Группы с мультиоператорами
| заглавие = Лекции по общей алгебре
| издание = 2-е изд.
| место = М.
| издательство = Наука
| год = 1973
| страницы = 114—124
| страниц = 400
| тираж = 30000
| ref = Курош
}}
▲* {{книга|автор=КурошКаргаполов АМ.Г И., Мерзляков Ю. И.|заглавие=ТеорияОсновы теории групп|издание=35-е изд|место={{М}}|издательство=[[Наука (издательство){{!}}Наука]]Лань|год=19672009|страниц=648288|isbn=978-5-8114-0894-8}}
* {{Книга:Общая алгебра|2}}
* {{Из|МЭ|http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/2301|Коммутант|автор=Н. Н. Вильямc, О. А. Иванова.}}
 
{{rq|refless}}
 
[[Категория:ТеорияОбщая группалгебра]]
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Коммутант