Ковариантность и контравариантность (математика): различия между версиями

граматическая ошибка
({{нет сносок}})
(граматическая ошибка)
С помощью метрического тензора скалярное произведение запишется как <math>g(x,y)=g_{ij}x^iy^j</math>. В пространствах со скалярным произведением имеет место канонический изоморфизм пространства <math>V</math> и сопряженного пространства <math>V^*</math>, то есть каждому вектору ставится в соответствие ковектор и наоборот. Это соответствие осуществляется как раз с помощью скалярного произведения или в тензорной записи — с помощью метрического тензора. А именно, можно записать <math>x_i=g_{ij}x^j</math>. Эта операция называется ''опусканием или спуском индекса''. Обратное соответствие осуществляется с помощью контравариантного метрического тензора <math>x^j=g^{ij}x_i</math>. Эта операция называется ''поднятием или подъемом индекса''. Несложно показать, что матрицы ковариантного и контравариантного метрических тензоров взаимно-обратны, то есть <math>g_{ik}g^{kj}=\delta^j_i</math>. Скалярное произведение можно выразить как в контравариантных, так и в ковариантных векторах: <math>g(x,y)=g_{ij}x^iy^j=x_iy^j=x^iy_j=g^{ij}x_iy_j</math>.
 
В случае ортонормированного базиса в евклидовом пространстве метрический тензор — единичная матрица, поэтому ковариантный вектор в координатной записи совпадает с контравариантным. Поэтому в этом случае деление векторов на контравариантные и ковариантные является лишними усложнением. Однако, уже при неортогональности базиса и (или) псевдоевклидовости пространства такое разграничение имеет значение. В псевдоевклидовом пространстве в ортогональном базисе ковекторы различаются знаками некоторых координат от обычного вектора. Система векторов и ковекторов в таком случае позволяет записывать формулу для длины вектора аналогично случаю евклидового пространства <math>x_ix^j</math>. В случае неортогональных (косоугольных) базисов в евклидовых (псевдоевклидовых) пространствах метрический тензор, преобразующий контравариантные векторы в ковариантные, не является диагональным. При этом длина вектора записывается также как в евклидовом пространстве с помощью контравариантных и ковариантных векторов. Все эти случаи объединяет одно — метрический тензор (в данном базисе) имеет одинаковую матрицу для всех точек (векторов) пространства.
 
В пространствах с метрическим тензором «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» являются фактически разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — [[Вектор (математика)|обычного вектора]] или [[ковектор]]а. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть набор ковариантных координат) и контравариантный (то есть набор контравариантных координат). То же можно сказать о ковекторе. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с [[Метрический тензор|метрическим тензором]]. Содержательно же векторы и ковекторы различают лишь по тому, какое из представлений для них естественно. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление. Для ковариантного вектора естественным является свертка с обычными векторами без участия метрики. Примером ковариантного вектора является градиент скалярной функции <math>\mathbf{grad} f(\mathbf{x})=\frac {\partial f} {\partial x^i}=\partial_if</math>. Его свертка с контравариантным (обычным) вектором <math>dx^i</math> дает инвариант — дифференциал функции <math>df(x)</math>. Таким образом, если мы принимаем <math>dx^i</math> в качестве обычных векторов пространства, то градиент должен быть ковектором, чтобы при свертывании не нужно было использовать метрический тензор. При этом сами векторы <math>dx^i</math> требуют при свертывании с такими же векторами использования метрического тензора <math>\ (dx)^2 = g_{ij} dx^i dx^j </math>.
Анонимный участник