Поле (алгебра): различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
LGB (обсуждение | вклад) Ну уж в преамбуле эта информация может только перепугать читателя. Перенёс в более подходящее место. |
Упорядочил аксиомы, выполнение которых говорит, что множество есть поле. |
||
Строка 8:
== Формальные определения ==
Алгебра над множеством <math>F</math>, образующая [[Абелева группа|коммутативную группу]] по сложению <math>+</math> над <math>F</math> с [[Нейтральный элемент|нейтральным элементом]] <math>\boldsymbol{0}</math> и коммутативную группу по умножению над ненулевыми элементами <math>F \setminus \{ \boldsymbol{0} \}</math>, при
Если раскрыть указанное выше определение, то множество <math>F</math> с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения <math>+</math> и умножения <math>*</math> (<math>+\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F</math>, т.е. <math>\forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F</math>) называется '''полем''' <math>\left\langle F,+,*\right\rangle</math>, если выполнены следующие аксиомы:▼
В связи с другими структурами (исторически возникшими позднее), поле может быть определено как [[коммутативное кольцо]], являющееся [[Тело (алгебра)|телом]]. Иерархия структур следующая:
: '''[[Коммутативное кольцо|Коммутативные кольца]]''' ⊃ '''[[целостное кольцо|целостные кольца]]''' ⊃ '''[[факториальное кольцо|факториальные кольца]]''' ⊃ '''[[область главных идеалов|области главных идеалов]]''' ⊃ '''[[евклидово кольцо|евклидовы кольца]]''' ⊃ '''поля'''
== Проверка множества на бытие полем ==
▲
# <math> \quad a+b=c, \forall a,b\in F </math> — замкнутость сложения
# <math>\quad (a+b)+c=a+(b+c), \forall a,b,c\in F</math> — ассоциативность сложения
# <math>\exists e\in F\colon\ a+e=e+a=a, \forall a\in F</math> — существование нейтрального элемента для сложения
# <math>\exists (-a)\in F \colon a+(-a)=(-a)+a=e ,\forall a\in F\;</math> — существование противоположного элемента для сложения
# <math> \quad a+b=b+a,\forall a,b\in F </math> — коммутативность сложения
# <math> \quad a\bullet b=c, \forall a,b\in F </math> — замкнутость сложения
# <math>\quad (a\bullet b)\bullet c=a\bullet (b\bullet c),\forall a,b,c\in F</math> — ассоциативность умножения
# <math>\exists e\in F\colon a\bullet e=e\bullet a=a,\forall a\in F</math> — существование нейтрального элемента для умножения
# <math>\;\exists a^{-1}\in F \colon a\bullet a^{-1}=a^{-1}\bullet a=e,\forall a\in F \setminus \{ \boldsymbol{0} \}</math> — существование обратного элемента для умножения
# <math>a\bullet b=b\bullet a,\forall a,b,c\in F</math> — коммутативность умножения
# <math>a\bullet (b+c)=a\bullet b+a\bullet c,\forall a,b,c\in F</math> — дистрибутивность
# <math>(a+b)\bullet c=a\bullet c+b\bullet c,\forall a,b,c\in F</math> — дистрибутивность
Аксиомы 1-2 соответствуют определению полугруппы по сложению, аксиомы 1-4 соответствуют определению группы по сложению, аксиомы 1-5 соответствуют определению абелевой группы по сложению, аксиомы 1-7, 11, 12 соответствуют определению кольца, аксиомы 1-12 соответствуют определению поля.
Стоит отметить, что нейтральный элемент <math>e</math> для сложения равен нулю, а для умножения — единице.
== Связанные определения ==
|