Формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям: различия между версиями

Для частицы, находящейся в гладком потенциале, интеграл по траекториям, который в одномерном случае является произведением обыкновенных интегралов, приближают зигзагообразными путями. При движении частицы из положения <math>x=x_a</math> в момент времени <math>t=t_a</math> в точку <math>x=x_b</math> при <math>t=t_b</math> временная последовательность <math>t_a < t_1 < \dots < t_{n-1} < t_n < t_b</math> может быть разделена на ''n'' малых сегментов <math>t_j-t_{j-1},\; j=1,\dots, n</math> фиксированной длительности <math>\varepsilon \equiv \Delta t=\frac{t_b-t_a}{n+1}</math> (одним оставшимся сегментом можно пренебречь, так как в конечном счёте рассматривается предел <math>n\to\infty </math>). Этот процесс называется квантованием времени.

\int\limits_{x_1=x_a}^{x_1=x_b} \ldots \int\limits_{x_n=x_a}^{x_n=x_b} \ \exp \left(\frac{{\rm i}}{\hbar}\int\limits_{t_a}^{t_b} \mathcal L\big(x(t), v(t), t\big)\,\mathrm{d}t\right) \, \mathrm{d}x_n \cdots \mathrm{d}x_{1} ,

</math>,

где <math>\mathcal L(x,v,t)</math> — лагранжиан одномерной системы, зависящий от пространственной переменной ''x''(''t'') и скорости <math>v=\dot x(t)</math>, а <math>\mathrm{d}x_j</math> соответствует положению на ''j''-ом временном шаге, если временной интеграл приближать суммой ''n'' слагаемых.

В пределе при ''n'', стремящемся к бесконечности, это выражение становится [[Функциональный интеграл|функциональным интегралом]], который (не считая несущественного множителя) является непосредственно произведением амплитуд плотностей вероятности <math>\langle x_a,t_a|x_b, t_b\rangle </math> найти квантово-механическую частицу при <math>t=t_a</math> в начальном состоянии <math>x=x_a</math> и при <math>t=t_b</math> в конечном состоянии <math>x=x_b</math>.

В действительности, <math> \mathcal L </math> — классический лагранжиан рассматриваемой одномерной системы, <math> \mathcal L(x,\dot x, t)=p \dot x -\mathcal H(x,p,t)</math>, где <math>\mathcal H </math> — гамильтониан (''p'' — импульс, по определению равный <math>\left. p=\frac {\partial \mathcal L}{\partial \dot x} \right) \!\!,</math> и вышеупомянутое «зигзагирование» соответствует появлению слагаемых:

: <math> \exp\left (\frac{{\rm i}}{\hbar}\,\varepsilon \cdot \sum_{j=1}^{n}\mathcal L\left(\tilde x_{j},\fractfrac{x_j-x_{j-1}}{\varepsilon},j\right)\right) </math>,

где <math>\tilde x_j \in [x_{j-1}, x_j]</math> — некоторая точка из соответствующего отрезка. Например, можно взять центр отрезка: <math>\tilde x_j=\fractfrac{x_j+x_{j-1}}{2}</math>.

Таким образом, в отличие от классической механики, вклад даёт не только стационарная траектория, но, фактически, все виртуальные траектории между начальной и конечной точками.

Фейнмановское приближение квантования времени, однако, не существует для наиболее важных квантово-механических интегралов по траекториям для атомов из-за сингулярности кулоновского потенциала <math>e^2/r \, </math> в нуле. Только после замены времени ''t'' на другой зависящий от траектории параметр («псевдовремя») <math>s=\int dt/r(t)</math>, сингулярность устраняется, и приближение квантования времени существует, которое точно интегрируемо, так как оно может быть сделано гармоничным с помощью простого преобразования координат, как было показано İsmail Hakkı Duru и Hagen Kleinert в 1979 году{{источник?}}. Совместное применение преобразования время—«псевдовремя» и преобразований координат является важным методом для вычисления многих интегралов по траекториям и называется преобразованием Duru-KleinertDuru–Kleinert.