Среднее Колмогорова: различия между версиями

'''Средние Колмогорова''' (они же - — средние по Колмогорову) для действительных чисел <math>x_1,\ldots,x_n</math>  — величины вида

где <math>\varphi</math>  — непрерывная строго монотонная функция, а <math>\varphi^{-1}</math>  — функция, обратная к <math>\varphi</math>. При <math>\varphi(x)=x</math> получают [[среднее арифметическое]], при <math>\varphi(x) = \log x</math>  — [[среднее геометрическое]], при <math>\varphi(x) = x^{-1}</math>  — [[среднее гармоническое]], при <math>\varphi(x) = x^2</math>  — [[среднее квадратическое]], при <math>\varphi(x) = x^\alpha, \ \alpha \not= 0</math>  — [[среднее степенное]].

В 1930 году [[Колмогоров, Андрей Николаевич|А.  Н.  Колмогоров]] показал (см. [1]), что любая средняя величина  — функция <math>M(x_1,\ldots,x_n)</math>, являющаяся:

* непрерывной,

* монотонной по каждому <math>x_i</math>, <math>i=1,\ldots,n,</math>

* среднее от одинаковых чисел равно их общему значению,

* некоторую группу значений можно заменить их собственным средним, не меняя общего среднего,

* [1] Колмогоров А. Н. (1985) Математика и механика, М.  — С.136-138.

* [2] [http://orlovs.pp.ru/econ.php#ek1 Орлов А. И.  Эконометрика (3-е изд.). - — М.: Экзамен, 2004. - — 596  с.]

* [3] [http://orlovs.pp.ru/stat.php#k1 Орлов А. И.  Прикладная статистика. - — М.: Экзамен, 2006. - — 671  с.]

== См. также ==

* [[Прикладная статистика]]