Изоморфизм: различия между версиями

Отображение <math>x\mapsto \exp(x)</math> в этом случае является изоморфизмом.

 

В [[Общая алгебра|общей алгебре]] изоморфизмом называется обратимое отображение, которое является [[гомоморфизм]]ом. Ниже приводятся несколько примеров.

 

В [[Теория множеств|теории множеств]] любая [[биекция]] является изоморфизмом.

 

В [[теория категорий|теории категорий]] изоморфизм есть обратимый морфизм, то есть морфизм <math>\varphi</math>,

для которого существует такой морфизм <math>\varphi^{-1}</math>, что композиции <math>\varphi^{-1}\circ\varphi</math> и <math>\varphi\circ\varphi^{-1}</math> — тождественные морфизмы.

 

== [[Теория операторов]]/[[Функциональный анализ]] ==

Ограниченный линейный оператор <math>T</math> между нормированными пространствами называется изоморфизмом, если существует положительное вещественное число <math>c</math> такое, что <math>\lVert Tx\rVert\geqslant c\lVert x\rVert</math> для всех векторов <math>x</math>. Любой изоморфизм является взаимно-однозначным. Легко видеть, что <math>T</math> является изоморфизмом тогда и только тогда, когда <math>T</math> обратим на своем образе, и обратный оператор ограничен. Говорят, что два нормированных пространства являются изоморфными, если найдется сюръективный изоморфизм из одного из них на другое.

 

 

== Вариации и обобщения ==

* Некоторая общая теория, уточняющая понятия изоморфизма (и других близких понятий) была предложена группой [[Николя Бурбаки|Бурбаки]] в их книге «Теория множеств» (Глава 4. Структуры).