Признак д’Аламбера: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
Строка 17:
== Доказательство ==
# <math>q<1</math>, тогда существует <math>\varepsilon>0\colon\;q+\varepsilon<1\;\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)<q+\varepsilon</math>, существует <math>n_0</math>, для любого <math>n>n_0\;\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)<q+\varepsilon=\frac{(q+\varepsilon)^{n+1}}{(q+\varepsilon)^n}</math>.<br />Ряд из <math>b_n=(q+\varepsilon)^n</math> сходится (как геометрическая прогрессия). Значит, ряд из <math>a_n</math> сходится (по признаку сравнения).
# <math>q>1</math>, тогда существует <math>\varepsilon>0\colon\;q-\varepsilon>1\;\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)>q-\varepsilon>1</math>. <math>a_{n+1}>a_n</math> для любого <math>n>n_0</math>. Тогда <math>a_n</math> не стремится к нулю и ряд расходится.
| |||