Прямое произведение: различия между версиями

[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 119:
Для бесконечного произведения <math>X = \Pi X_i</math> определение усложняется. Определим ''открытый цилиндр'' <math>Cyl(i,\;U) = \{x\in X\mid x_i\in U\}</math>, где <math>i\in I</math> и <math>U</math> — открытое подмножество <math>X_i</math>.
 
Топология бесконечного произведения будет задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений '''конечного''' числа открытых цилиндров (такая топология аналогична [[компактно-открытая топология|компактно-открытой топологии]] пространств отображений, если считать индексное множество <math>I</math> имеющим дискретную топологию).
 
Теорема [[Тихонов, Андрей Николаевич|Тихонова]] утверждает [[компактное пространство|компактность]] произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования [[аксиома выбора|аксиомы выбора]] (или равносильных ей утверждений теории множеств).
 
Также, теорема [[Александров, Павел Сергеевич|Александрова]] показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение [[связное двоеточие|связных двоеточий]], если только выполнена [[Аксиомы отделимости#Нулевая аксиома отделимости (аксиома Колмогорова)|аксиома Колмогорова]].
 
=== Прямое произведение графов ===