|
'''Векторная авторегрессия''' (''VAR, Vector AutoRegression'')- — модель динамики нескольких временных рядов, в которой текущие значения этих рядов зависят от прошлых значений этих же временных рядов. Модель предложена Кристофером Симсом как альтернатива [[система одновременных уравнений|системам одновременных уравнений]], которые предполагают существенные теоретические ограничения. VAR-модели свободны от ограничений структурных моделей. Тем не менее, проблема VAR-моделей заключается в резком росте количества параметров с увеличением количества анализируемых временных рядов и количества лагов.
==Формальное представление==
Фактически VAR - — это система эконометрических уравнений, каждая из которых представляет собой [[модели авторегрессии и распределенного лага|модель авторегрессии и распределенного лага]] (ADL). Пусть <math>y^i, i=1.., \ldots, k</math> — - <math>i</math>-й временной ряд. ADL(p,p)-модель для <math>i</math>-го временного ряда будет иметь вид
<math>y^i_t=a^i_0+\sum_{j=1}^{k} a^i_{1j} y^j_{t-1}+\sum_{j=1}^{k} a^i_{2j} y^j_{t-2}+...+\sum_{j=1}^{k} a^i_{pj} y^j_{t-p}+\varepsilon^i_{t}.</math>
Более удобной и компактной, однако, является векторно-матричная запись модели. Для этого вводится вектор временных рядов <math>y_t=(y^1_t, y^2_t, ... y^k_t)</math>. Тогда вышеприведенные уравнения для каждого временного ряда можно записать одним уравнением в векторной форме:
<math>y_t=a_0+A_1 y_{t-1}+A_2 y_{t-2}+...+A_p y_{t-p}+\varepsilon_t=a_0+\sum_{m=1}^p A_m y_{t-m}+\varepsilon_t,</math>
где <math>A_m</math> - — матрицы элеметов <math>a^i_{mj}</math>.
Это и есть модель ''векторной авторегрессии порядка p'' - — ''VAR(p)''.
Приведенная модель является ''замкнутой'', в том смысле, что в качестве объясняющих переменных выступают только лаги эндогенных (объясняемых) переменных. Однако, ничто не мешает дополнить модель некоторыми экзогенными переменными и их лагами, например, до порядка q. Такую модель называют ''открытой''. В матричном виде ее можно представить следующим образом:
<math>C x_t=ACx_{t-1}+\varepsilon_t ~\Rightarrow x_t=C^{-1}ACx_{t-1}+C^{-1}\varepsilon_t</math>
Учитывая, что C-матрица собственных векторов матрицы А, получаем, что <math>C^{-1}AC=\Lambda</math> - — диагональная матрица из собственных значений матрицы A. То есть такое преобразование позволило получить совокупность AR(1)- моделей:
<math>x^i_t=\lambda_i x^i_{t-1}+u^i_{t}</math>
Условие стационарности AR(1)-процессов известно и очень простое -: коэффициент авторегрессии по модулю должен быть меньше 1. Если условия стационарности выполнены хотя бы для одного из этих уравнений (то есть у матрицы A хотя бы одно из собственных значений по модулю меньше 1), то получаем, что имеется стационарная линейная комбинация исходных временных рядов. Если исходные ряды являются нестационарными I(1)-рядами, то есть интегрированными первого порядка, то это означает, что исходные временные ряды будут [[коинтеграция временных рядов|коинтегрированными]]. Количество таких собственных значений равно рангу коинтеграции. Если ранг коинтеграции равен количеству переменных, то исходные временные ряды являются стационарными (не содержат единичных корней) и можно строить обычную VAR-модель.
Если временные ряды стационарны, то можно построить обычный VAR. Если они интегрированны, но нет коинтеграции, то строится VAR для разностей соответствующего порядка. Если имеется коинтеграция, то строится модель исправления ошибок (VECM)
| 