Гауссова кривизна: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
MBHbot (обсуждение | вклад) м удаление пробелов нулевой ширины, см. ВП:Ф-Т |
|||
Строка 1:
[[Файл:
{{другие значения термина|кривизна|Кривизна (значения)}}
'''Гауссова кривизна''' — мера искривления поверхности в окрестности какой-либо её точки. Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности, не изменяется при изометрических изгибаниях.
Строка 18:
Рассмотрим (с точностью до знака) [[симметрический многочлен|симметрические многочлены]], составленные из чисел
: <math>(1) \qquad k^{(1)}, k^{(2)}, \dots, k^{(n)} :</math>
: <math>
Строка 63 ⟶ 62 :
== Выражение через тензор Римана ==
Для скалярной кривизны гиперповерхности мы имеем такую
: <math>(11) \qquad R = g^{ik} g^{jl} R_{ijkl} = 2 \sum_{i < j} k^{(i)} k^{(j)} = 2 K^{[2]}</math>
Строка 132 ⟶ 131 :
== Кривизна Гаусса нечетной степени ==
Кривизна Гаусса нечетной степени также связана с тензором Римана, но более сложными формулами, чем (20). К тому же из этих формул кривизна Гаусса выражается неоднозначно.
== Значение кривизны Гаусса ==
Строка 155 ⟶ 154 :
* Если поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве с метрикой <math>ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2</math> задана уравнением <math>f(x,y,z) = 0</math>, формула принимает вид<ref>[http://mathworld.wolfram.com/GaussianCurvature.html Gaussian Curvature on Wolfram MathWorld]</ref>
::<math>K=\frac{[f_z(f_{xx}f_z-2f_xf_{xz})+f_x^2f_{zz}][f_z(f_{yy}f_z-2f_yf_{yz})+f_y^2f_{zz}]-[f_z(-f_xf_{yz}+f_{xy}f_z-f_{xz}f_y)+f_xf_yf_{zz}]^2}{f_z^2(f_x^2+f_y^2+f_z^2)^2}</math>
* В случае, если первая квадратичная форма ''конформно эквивалентна'' евклидовой, то есть<math>E = G = e^{u}</math> с некоторой функцией <math>u=u(x,y)</math> и <math>F= 0</math>, формула для кривизны Гаусса принимает вид
Строка 162 ⟶ 161 :
== См. также ==
* [[Кривизна]]
== Примечания ==
| |||