Википедия

Уравнение теплопроводности: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
(Показать все непатрулированные изменения)
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Сделал обозначения единообразными
Строка 5:
В пространстве с произвольной системой координат <math>\mathbf{r}=(r_1, \ldots, r_n)</math> уравнение теплопроводности имеет вид
{{Equation box 1
|equation=<math>\frac{\partial u}{\partial t} - \alphaa^2 \Delta u=f(\mathbf{r},t), </math>
|indent=:
|cellpadding
Строка 11:
|border colour = #50C878
|background colour=#ECFCF4}}
где <math>a</math> — положительная константа (число <math>a^2</math> является [[коэффициент температуропроводности|коэффициентом температуропроводности]]),
где <math>\alpha</math> — [[коэффициент температуропроводности]] (положительная константа), <math>\Delta = \nabla^2</math> — [[оператор Лапласа]] и <math>f(\mathbf{r},t)</math> — функция тепловых источников<ref>''Тихонов А. Н., Самарский А. А.'' Уравнения математической физики. — гл.&nbsp;III, § 1. — Любое издание.</ref>. Искомая функция <math>u = u(\mathbf{r},t)</math> задает температуру в точке с координатами <math>\mathbf{r}</math> в момент времени <math>t</math>.
 
В пространстве с [[Прямоугольная система координат|декартовыми координатами]] <math>x = (x_1, \ldots, x_n)</math> уравнение теплопроводности принимает вид
{{Equation box 1
|equation=<math>\frac{\partial u}{\partial t} - \alphaa^2
\left(\frac{\partial^2u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2u}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2u}{\partial x_n^2}\right) = f(x,t).</math>
|indent=:
Строка 28 ⟶ 29 :
: <math>\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{\partial u}{\partial t} - \alphaa^2 \Delta u = f(x,t),
\quad x \in \mathbb{R}^n, \; t>0, \\
{}\qquad
Строка 40 ⟶ 41 :
: <math>\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{\partial u}{\partial t} - \alphaa^2 \Delta u = 0,
\quad x \in \mathbb{R}^n, \; t>0, \\
{}\qquad
Строка 53 ⟶ 54 :
* '''Фундаментальным решением''' или '''ядром''' уравнения теплопроводности называется решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности с начальным условием <math>\varphi(x)=\delta(x)</math>, где <math>\,\delta(x)</math> — [[дельта-функция]] Дирака. Оно имеет вид:
: <math>
\Phi(x,t) = \frac{1}{(2a\sqrt{(4\pi \alpha t})^n}} \exp \biggl(-\frac{|x|^2}{4\alpha4a^2 t} \biggr), \ \ x \in \mathbb{R}^n, \ t>0.
</math>
: где <math>|x|^2 = x_1^2 + \cdots+ x_n^2</math> — стандартный [[скалярное произведение|скалярный квадрат]] вектора <math>x \in \mathbb{R}^n</math>.
* Совпадение формулы для фундаментального решения уравнения теплопроводности с [[плотность вероятности|плотностью]] [[Нормальное распределение|нормального распределения]] с нулевым [[математическое ожидание|математическим ожиданием]] и [[Дисперсия случайной величины|дисперсией]], пропорциональной <math>t</math>, не случайно. Оно объясняется тем, что перенос тепла связан с [[Броуновское движение|броуновским движением]] частиц, которое математически описывается с помощью [[Винеровский процесс|винеровского случайного процесса]].
* '''ФормулаИнтеграл Пуассона:''' В пространстве с декартовыми координатами решение однородной задачи Коши задается в виде интегральной формулы, называемой ''интегралом Пуассона''. Именно, <math>u(x,t)</math> при всех <math>t>0</math> есть [[Свёртка (математический анализ)|свёртка]] по пространственной переменной <math>x</math> фундаментального решения с начальной функцией:
: <math>u(x,t) = \int \limits_{\mathbf{R}^n} \Phi(x-y,t)\, \varphi(y)\, dy = \frac{1}{(2a\sqrt{(4\pi \alpha t})^n}} \int \limits_{\mathbf{R}^n} \exp \biggl(-\frac{|x-y|^2}{4\alpha4a^2 t} \biggr)\, \varphi(y)\, dy.
</math>
* Интеграл Пуассона задает единственное непрерывное и ограниченное решение данной задачи Коши (отметим, что неограниченных решений существует бесконечно много).
Строка 65 ⟶ 66 :
== Одномерное уравнение теплопроводности ==
Для случая одной пространственной переменной ''x'' (задача о нагревании или охлаждении стержня) уравнение теплопроводности принимает вид
: <math>u_t - \alphaa^2 u_{xx} = f(x,t).</math>
Для этого уравнения можно ставить и решать различные [[Краевая задача|краевые задачи]], один из методов решения которых предложен французским математиком [[Фурье, Жан Батист Жозеф|Фурье]] и носит его имя<ref>''Тихонов А. Н., Самарский А. А.'' Уравнения математической физики. — гл.&nbsp;III, § 2. — Любое издание.</ref>
 
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_теплопроводности