Википедия

Монотонная функция: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
(Показать все непатрулированные изменения)
[непроверенная версия][непроверенная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Старая терминология запутывает
Строка 3:
[[Файл:Monotonicity example3.png|thumb|Рисунок 3. Функция, не являющаяся монотонной]]
 
'''Моното́нная фу́нкция''' — это функция, [[Дифференциал (математика)|приращение]] которой нев меняеткаждой знака,точке тозадания естьпри либоувеличении значения аргумента всегдалибо не отрицательное, либо всегда не положительное<ref>[http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3243/%D0%9C%D0%9E%D0%9D%D0%9E%D0%A2%D0%9E%D0%9D%D0%9D%D0%90%D0%AF Монотонная функция] / Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.</ref>. Если впри дополнениеэтом приращение функции не равно нулю, то функция называется '''стро́го моното́нной'''.
Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.▼
 
▲Монотонная функция — это функция, меняющаясякоторая, весли одномменяется, ито томлишь жев одном направлении.
Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.▼
 
▲Строго монотонная функция меняется при переходе от одной точки к другой и только в одном направлении. Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
== Определения ==▼
 
▲== Определения'''<ref name=="ilyin">{{книга
Пусть дана функция <math>f:M \subset \R \to \R.</math> Тогда
|автор = [[Ильин, Владимир Александрович|{{nobr|В. А. Ильин}}]], [[Садовничий, Виктор Антонович|{{nobr|В. А. Садовничий}}]], [[Сендов, Благовест|{{nobr|Бл. Х. Сендов}}]].|часть = Глава 4. Непрерывность функции|заглавие = Математический анализ|ссылка = http://sci-lib.com/book000401.html|ответственный = {{nobr|Под ред. [[Тихонов, Андрей Николаевич|А. Н. Тихонова]]}}|издание = {{nobr|3-е изд.}}, перераб. и доп|место = М.|издательство = Проспект|год = 2006|том = 1|страницы = 146|страниц = 672|isbn = 5-482-00445-7}}</ref>''' ==
 
* функция <math>f</math> называется '''возраста́ющей''' на <math>M</math>, если
:: <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y)</math>.
* функция <math>f</math> называется '''стро́го возраста́ющей''' на <math>M</math>, если
:: <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y)</math>.
* функция <math>f</math> называется '''убыва́ющей''' на <math>M</math>, если
:: <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y)</math>.
* функция <math>f</math> называется '''стро́го убыва́ющей''' на <math>M</math>, если
:: <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y)</math>.
 
(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.
 
== Другая терминология ==
 
* Функция <math>f(x)</math> называется '''неубывающей''' на некотором интервале, если для любых двух точек <math>x_1</math> и <math>x_2</math> этого интервала, таких что <math>x_1<x_2</math>, справедливо <math>f(x_1) \le f(x_2)</math>.▼
* Функция <math>f(x)</math> называется '''возрастающей''' на некотором интервале, если для любых двух точек <math>x_1</math> и <math>x_2</math> этого интервала, таких что <math>x_1<x_2</math>, справедливо <math>f(x_1)<f(x_2)</math>. Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
* Функция <math>f(x)</math> называется '''невозрастающей''' на некотором интервале, если для любых двух точек <math>x_1</math> и <math>x_2</math> этого интервала, таких что <math>x_1<x_2</math>, справедливо <math>f(x_1) \ge f(x_2)</math>.▼
* Функция <math>f(x)</math> называется '''убывающей''' на некотором интервале, если для любых двух точек <math>x_1</math> и <math>x_2</math> этого интервала, таких что <math>x_1<x_2</math>, справедливо <math>f(x_1)>f(x_2)</math>. Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
* ВозрастающиеНеубывающие и убывающиеневозрастающие функции называются '''строго монотонными''', неубывающиевозрастающие и невозрастающиеубывающие функции — '''строго монотонными'''.▼
▲* Функция <math>f(x)</math> называется '''неубывающей''' на некотором интервале, если для любых двух точек <math>x_1</math> и <math>x_2</math> этого интервала, таких что <math>x_1<x_2</math>, справедливо <math>f(x_1) \le f(x_2)</math>.
▲* Функция <math>f(x)</math> называется '''невозрастающей''' на некотором интервале, если для любых двух точек <math>x_1</math> и <math>x_2</math> этого интервала, таких что <math>x_1<x_2</math>, справедливо <math>f(x_1) \ge f(x_2)</math>.
▲* Возрастающие и убывающие функции называются '''строго монотонными''', неубывающие и невозрастающие функции — '''монотонными'''.
 
== Свойства монотонных функций ==
Строка 40 ⟶ 27 :
== Условия монотонности функции ==
 
* ''(Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале).''
Пусть функция <math>f \in C \bigl( (a,b) \bigr)</math> непрерывна на <math>(a,b),</math> и имеет в каждой точке <math>x\in (a,b)</math> [[Производная функции|производную]] <math>f'(x).</math> Тогда{{Кс|1}} <math>f</math> не убывает на <math>(a,b)</math> тогда и только тогда, когда <math>\forall x \in (a,b)\; f'(x) \ge 0;</math>
*: <math>f</math> не убываетвозрастает на <math>(a,b)</math> тогда и только тогда, когда <math>\forall x \in (a,b)\; f'(x) \gele 0;.</math>
* ''Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале.''
*: <math>f</math> не возрастает на <math>(a,b)</math> тогда и только тогда, когда <math>\forall x \in (a,b)\; f'(x) \le 0.</math>
* ''(Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале)'' Пусть функция <math>f \in C \bigl( (a,b) \bigr)</math> непрерывна на <math>(a,b),</math> и имеет в каждой точке <math>x\in (a,b)</math> производную <math>f'(x).</math> Тогда
*: если <math>\forall x \in (a,b)\; f'(x) > 0,</math> то <math>f</math> строго возрастает на <math>(a,b);</math>
*: если <math>\forall x \in (a,b)\; f'(x) < 0,</math> то <math>f</math> строго убывает на <math>(a,b).</math>
 
Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в [[0 (число)|ноль]]. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть [[Всюду плотное множество|плотно]] на интервале <math>(a,b).</math> Точнее имеет место
* ''(Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале).''
Пусть <math>f\in C\bigl( (a,b) \bigr),</math> и всюду на интервале определенасуществует производная <math>f'(x).</math> Тогда <math>f</math> строго возрастает на интервале <math>(a,b)</math> тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
:# <math>\forall x \in (a,b) \; f'(x) \ge 0;</math>
:# <math>\forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) > 0.</math>
Аналогично, <math>f</math> строго убывает на интервале <math>(a,b)</math> тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
:# <math>\forall x \in (a,b) \; f'(x) \le 0;</math>
:# <math>\forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) < 0.</math>
Строка 57 ⟶ 46 :
== Примеры ==
 
* Функция <math>f(x)=x^3</math> строго возрастает на всей [[Вещественное число|числовой прямой]], несмотря на то, что точка <math>x=0</math> является [[Критическая точка (математика)|стационарной]], т.е. в этой точке <math>f'(x)=0</math>.
* Функция <math>f(x)= \sin x</math> является строго возрастающей не только на открытом интервале <math>(- \pi /2; \pi /2)</math>, но и на замкнутом интервалесегменте <math>[- \pi /2; \pi /2]</math>.
* [[Экспоненциальная функция|Экспонента]] <math>f(x) = e^x</math> строго возрастает на всей [[Вещественное число|числовой прямой]].
* [[Постоянная|Константа]] <math>f(x) \equiv a,\; a\in \mathbb{R}</math> одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.
* [[Канторова лестница]] — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точкахвсюду.
* [[Функция Минковского]] — пример сингулярной строго возрастающей функции.
 
== Примечания ==
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Монотонная_функция