Преобразование Фурье: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 19:
== Разновидности преобразования Фурье ==
=== [[Многомерное преобразование Фурье]] ===
Как непрерывное, так и дискретное преобразование Фурье, описываемые для функций одного скалярного аргумента ниже, имеют и многомерную форму, т.е. форму для функций нескольких (конечного числа) аргументов или для функций векторного аргумента.
Наиболее простыми и прямыми аналогами описываемых ниже одномерных преобразований явлется разложение по плоским волнам:
: <math>F(\vec k) = N_1 \int f(\vec x) e^{-i \vec k \cdot \vec x}\,d^n x</math>
Здесь n - размерность пространства аргумента, F - фурье-образ функции f, N<sub>1</sub> - постоянный нормирующий множитель, <math>\vec x</math> - n-мерный векторный аргумент функции f, <math>\vec k</math> - n-мерный волновой вектор, аргумент функции F, точкой обозначено их скалярное произведение (в простейшем случае - сумма произведений их соответствующих компонент), d<sup>n</sup>x - обозначение элемента n-мерного объема области интегрирования, в простейшем случае равное dx<sub>1</sub>dx<sub>2</sub>dx<sub>3</sub>...
Обратное преобразование при этом выглядит так:
: <math>F(\vec k) = N_2 \int F(\vec k) e^{i \vec k \cdot \vec x}\,d^n k</math>
Область интегрирования в обоих интегралах n-мерная, в простейшем случае совпадает со всем пространством. Постоянные множители N<sub>1</sub> и N<sub>2</sub> подбирают обычно так, чтобы N<sub>2</sub> было равно единице или чтобы N<sub>1</sub> = N<sub>2</sub> (ортонормированный базис).
На случай комплекснозначных и векторнозначных функций обобщение достаточно просто: каждая компонента векторнозначной функции преобразуется отдельно, так же можно поступить при желании и с действительной и мнимой частью комплекснозначной функции.
Многомерное преобразование Фурье может быть и дискретным, которое проще всего получается для f на конечной области в форме параллелепипеда, согласованного с осями координат. Для областей другой формы многомерное дискретное преобразование Фурье возможно при выборе несинусоидальных базисных функций.
=== [[Непрерывное преобразование Фурье]] ===
| |||