Зоммерфельд, Арнольд: различия между версиями

В [[1891 год]]у Зоммерфельд защитил в Кёнигсберге докторскую диссертацию на тему «Произвольные функции в математической физике» (''Die willkürlichen Functionen in der mathematischen Physik'')<ref name="Born-275" />. В 1892 году он сдал экзамен на право работать преподавателем гимназии, после чего отправился на годичную военную службу. Не желая быть простым школьным учителем, в октябре 1893 года он прибыл в [[Гёттинген]], где стал ассистентом профессора Минералогического института {{не переведено 2нп5|Либиш, Теодор|Теодора Либиша|de|Theodor Liebisch||1}}, с которым был знаком по Кёнигсбергу. Однако интересы Зоммерфельда по-прежнему касались математики и математической физики, а его обязанности в институте, которые он называл ''«минералогическим убийством времени»'', наводили на него тоску. Вскоре он попал под влияние знаменитого гёттингенского математика [[Клейн, Феликс|Феликса Клейна]], лекции которого посещал, и в [[1894 год]]у стал его ассистентом с обязанностью вести запись лекций профессора для нужд студентов. Педагогические методы Клейна оказали большое влияние на последующую преподавательскую деятельность Зоммерфельда{{sfn|Born|1952|p=277|name="Born-277"}}{{sfn|Eckert (PhSc)|2003|pp=168—169}}. Кроме того, Клейн стимулировал интерес молодого учёного к прикладным и эмпирическим наукам, которые, по мнению наставника, могли быть обогащены математическими методами. Решение физических проблем постепенно становилось главным занятием Зоммерфельда{{sfn|Born|1952|p=278|name="Born-278"}}.

В [[1896 год в науке|1896 году]] Зоммерфельд закончил работу «Математическая теория дифракции» (''Mathematische Theorie der Diffraction''), которая стала основанием для присуждения ему звания [[приват-доцент]]а математики ([[хабилитация]])<ref name="Born-277" />. В Гёттингене он читал лекции по различным разделам математики, в том числе по [[теория вероятностей|теории вероятностей]] и [[Дифференциальное уравнение в частных производных|дифференциальным уравнениям в частных производных]]. В [[1897 год]]у Зоммерфельд стал профессором [[Клаустальский технический университет|Горной академии в Клаустале]], где преподавал в основном элементарную математику<ref name="Born-278" />. В следующем году по предложению Клейна он занялся редактированием пятого (физического) тома «Математической энциклопедии» (''Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften'') и в течение многих лет (до второй половины 1920-х годов) уделял значительное внимание этой деятельности. Эта обязанность сыграла большую роль в превращении его в физика-теоретика, а также способствовала его знакомству с такими выдающимися учёными, как [[Больцман, Людвиг|Людвиг Больцман]], [[Лоренц, Хендрик Антон|Хендрик Лоренц]], [[Томсон, Уильям (лорд Кельвин)|лорд Кельвин]]{{sfn|Eckert (PhSc)|2003|p=172|name="Eckert-PhSc-172"}}. В 1897 году Зоммерфельд женился на Йоханне Хёпфнер (''Johanna Höpfner''), дочери {{не переведено 2нп5|Хёпфнер, Эрнст|Эрнста Хёпфнера|de|Ernst Höpfner||1}}, куратора [[Гёттингенский университет|Гёттингенского университета]]. В последующие годы у них родилось четверо детей — три сына и дочь{{sfn|Born|1952|p=287|name="Born-287"}}.

В конце 1890-х годов математика по-прежнему представляла основной интерес для Зоммерфельда, который надеялся получить профессорское место по этой дисциплине. В 1899 году представился удобный случай: освободилась кафедра геометрии в [[Гёттингенский университет|Гёттингене]]. Однако предпочтение было отдано другому ученику Клейна — {{не переведено 2нп5|Шиллинг, Фридрих|Фридриху Шиллингу|de|Friedrich Schilling (Mathematiker)|Friedrich Schilling|1}}<ref name="Eckert-PhSc-172" />. В [[1900 год]]у Зоммерфельд был приглашён на пост профессора технической механики в [[Рейнско-Вестфальский технический университет Ахена|Высшей технической школе в Ахене]], где был вынужден много заниматься техническими задачами и консультировать инженеров по математическим вопросам{{sfn|Born|1952|p=279|name="Born-279"}}. Эта деятельность вполне соответствовала клейновской идее о сближении математики и прикладных дисциплин, которую Зоммерфельд полностью поддерживал. Благодаря этому ему удалось успешно противостоять традиционному недоверию, с которым учёные инженерных специальностей относились в то время к чистым математикам{{sfn|Eckert (PhSc)|2003|p=173}}.

Жизнь в Мюнхене прерывалась несколькими длительными путешествиями: в 1922—1923 годах Зоммерфельд работал в [[Висконсинский университет в Мадисоне|Висконсинском университете]] в качестве приглашённого профессора (''Carl Schurz professor''), в 1926 году посетил с лекциями [[Великобритания|Великобританию]] ([[Оксфордский университет|Оксфорд]], [[Кембриджский университет|Кембридж]], [[Эдинбургский университет|Эдинбург]], [[Манчестерский университет|Манчестер]]), в 1928—1929 годах совершил кругосветное путешествие с лекционными остановками в [[США]] ([[Калифорнийский технологический институт]]), [[Япония|Японии]], [[Китай|Китае]] и [[Индия|Индии]], в дальнейшем был с визитами в [[Венгрия|Венгрии]], [[СССР]], [[Франция|Франции]], [[Италия|Италии]] и США. Зоммерфельд рассматривал эти поездки как своеобразную культурную миссию, направленную на распространение влияния немецкой науки в мире и на установление с научными организациями других стран связей, которые были разрушены во время [[Первая мировая война|Первой мировой войны]]. Важность этой «посольской» деятельности признавали его коллеги и государство. Так, его кругосветное путешествие проходило при поддержке отдела культуры министерства иностранных дел и финансировалось {{не переведено 2нп5|Чрезвычайная ассоциация немецкой науки|Чрезвычайной ассоциацией немецкой науки|de|Notgemeinschaft der deutschen Wissenschaft||1}}<ref name="Born-287" />{{sfn|Eckert (HSPS)|1987|pp=198—199}}.

Обострение политической ситуации в Германии непосредственно отразилось на судьбе Зоммерфельда. Хотя он придерживался патриотических убеждений как в юности, когда состоял в студенческом братстве (''[[:en:Burschenschaft|Burschenschaft]]''), так и во время Первой мировой войны, в 1927 году его сочли недостаточно националистически настроенным, чтобы занять пост ректора Мюнхенского университета. Как сторонник [[Немецкая демократическая партия|Немецкой демократической партии]] и приверженец международного научного сотрудничества, он был забаллотирован на выборах, и должность досталась представителю [[Правые (политика)|правых]] кругов<ref name="Forman-Hermann-530" />. В [[1935 год]]у, по достижении предельного возраста, Зоммерфельд должен был уйти в отставку с профессорского поста. В качестве своего преемника он видел [[Гейзенберг, Вернер|Вернера Гейзенберга]], одного из лучших своих учеников, однако эта кандидатура вызвала сильное сопротивление со стороны представителей так называемой [[Арийская физика|«арийской физики»]]. В итоге пожилой учёный был вынужден продлить свою преподавательскую карьеру ещё на несколько лет, пока в [[1940 год]]у власти не утвердили на эту должность сторонника «арийской физики» — {{не переведено 2нп5|Мюллер, Вильгельм (физик)|Вильгельма Мюллера|de|Wilhelm Müller||1}}, ''«худшего из возможных преемников»'', по признанию самого Зоммерфельда<ref name="Born-287" />. Мюллер отзывался о своём предшественнике как о ''«главном пропагандисте еврейских теорий»''{{sfn|Eckert (HSPS)|1987|p=229}}. Весной 1941 года он предпринял попытку изгнать Зоммерфельда из Института теоретической физики. Тот обратился за поддержкой к своему другу [[Прандтль, Людвиг|Людвигу Прандтлю]], специалисту по аэродинамике, находившемуся в контакте с [[Геринг, Герман Вильгельм|Германом Герингом]]; были также задействованы председатель Немецкого физического общества [[{{нп5|Рамзауэр, Карл|Карл Рамзауэр]]|de|Carl Ramsauer||1}} и главный физик компании [[Carl Zeiss|«Карл Цейсс»]] {{не переведено 2нп5|Йоос, Георг|Георг Йоос|de|Georg Joos||1}}. Исход дела был решён в пользу Зоммерфельда, что окончательно подорвало влияние «арийской физики»{{sfn|Eckert (Milit)|1996|p=75—76}}.

Лишь после Второй мировой войны пост профессора теоретической физики в Мюнхене перешёл к достойному кандидату — {{не переведено 2нп5|Бопп, Фридрих|Фридриху Боппу|de|Fritz Bopp|Friedrich Bopp|1}}. В последние годы жизни Зоммерфельд занимался подготовкой к изданию своих лекций по теоретической физике. Эта работа была прервана в начале апреля [[1951 год]]а уличным происшествием: во время прогулки со своими внуками престарелый учёный был сбит автомобилем, получил серьёзные повреждения и спустя несколько недель, 26 апреля, скончался. Последний, неоконченный том его лекций, посвящённый термодинамике, был доработан и издан его учениками Боппом и {{не переведено 2нп5|Мейкснер, Йозеф|Йозефом Мейкснером|de|Josef Meixner||1}}<ref name="Born-287" />{{sfn|Forman, Hermann|1975|p=531}}. Зоммерфельд был похоронен на Северном кладбище ''Nordfriedhof'' в северной части Мюнхена<ref>{{статья|автор= J. Teichmann, M. Eckert, S. Wolff. |заглавие= Physicists and Physics in Munich |ссылка= http://dx.doi.org/10.1007/s00016-002-8372-6 |издание= Physics in Perspective |год= 2002 |volume= 4 |pages= 350}}</ref>. Имя учёного носит основанный в 2004 году Центр теоретической физики при Мюнхенском университете<ref>{{cite web|url= http://www.asc.physik.lmu.de/about/index.html |title= About ASC |author=|date=|work=|description=|publisher= Ludwig-Maximilians-Universität München |accessdate=2014-08-19|lang=en|archiveurl=http://www.webcitation.org/67mfq0UND|archivedate=2012-05-19}}</ref>, а также здание (''Arnold-Sommerfeld-Haus'' на ''Amalienstrasse'' в Мюнхене), в котором располагается Международный центр науки<ref>{{cite web|url= http://www.ibz-muenchen.de/ |title= IBZ Munich |author=|date=|work=|description=|publisher= Internationales Begegnungszentrum der Wissenschaft e.V. |accessdate=2014-08-19|lang=en|archiveurl=http://www.webcitation.org/67mfqpAKL|archivedate=2012-05-19}}</ref>.

Упор на решение конкретных проблем, имеющих непосредственную связь с экспериментом, а не на получение новых теорий из общих принципов, был в целом характерен и для научной школы Зоммерфельда и во многом предопределил её развитие. Проблемный подход оказался чрезвычайно успешным с педагогической точки зрения, позволив Зоммерфельду воспитать целую плеяду крупных физиков-теоретиков{{sfn|Seth (book)|2010|pp=2—3}}. Такой подход позволял не ограничиваться в выборе тем, которые он мог предложить своим ученикам для анализа и которые относились к самым разным отделам физики, в том числе экспериментальной. Кроме того, отношения Зоммерфельда с учениками были необычны для немецкого профессора того времени: он приглашал студентов к себе домой, устраивал неформальные собрания и выезды на природу по выходным. Это позволяло более свободно обсуждать исследовательские проблемы и способствовало росту привлекательности Мюнхена для молодых физиков. Желание учиться у Зоммерфельда выражали даже [[Эйнштейн, Альберт|Альберт Эйнштейн]] (1908) и [[Эренфест, Пауль|Пауль Эренфест]] (1911), уже сложившиеся к тому времени учёные{{sfn|Eckert (PP)|1999|pp=247—249}}. Частью процесса воспитания новых теоретиков был еженедельный семинар, который посещали все студенты Зоммерфельда и на которых разбирались результаты из свежей научной литературы{{sfn|Bethe|2000}}. Как вспоминал американский физик {{не переведено 2нп5|Эккарт, Карл Генри|Карл Эккарт||Carl Eckart||1}}, проходивший стажировку у Зоммерфельда,

Первым учеником мюнхенской школы теоретической физики стал [[Дебай, Петер Йозеф Вильгельм|Петер Дебай]], который был ассистентом Зоммерфельда ещё в [[Ахен]]е и последовал за своим учителем в баварскую столицу{{sfn|Born|1952|p=286|name="Born-286"}}. В период до Первой мировой войны докторские диссертации под руководством Зоммерфельда защитили также {{не переведено 2нп5|Хопф, Людвиг|Людвиг Хопф|de|Ludwig Hopf||1}}, {{не переведено 2нп5|Ленц, Вильгельм (физик)|Вильгельм Ленц|de|Wilhelm Lenz (Physiker)|Wilhelm Lenz|1}}, [[{{нп5|Эвальд, Пауль Петер|Пауль Петер Эвальд]]|de|Paul Peter Ewald||1}}, [[Эпштейн, Пауль Софус|Пауль Эпштейн]], [[Ланде, Альфред|Альфред Ланде]]. После войны основной тематикой исследований в [[Мюнхен]]е стала квантовая теория строения атома, первостепенную роль в развитии которой сыграли ученики Зоммерфельда [[Гейзенберг, Вернер|Вернер Гейзенберг]] и [[Паули, Вольфганг|Вольфганг Паули]]. Среди прочих выходцев из научной школы такие учёные, как [[Бете, Ханс Альбрехт|Ханс Бете]], [[Унзольд, Альбрехт Отто Иоганнес|Альбрехт Унзольд]], [[Гайтлер, Вальтер|Вальтер Гайтлер]], {{не переведено 2нп5|Венцель, Грегор|Грегор Венцель|de|Gregor Wentzel||1}}, {{не переведено 2нп5|Хёнль, Гельмут|Гельмут Хёнль|de|Helmut Hönl||1}}, {{не переведено 2нп5|Фюс, Эрвин|Эрвин Фюс|de|Erwin Fues||1}}, [[{{нп5|Лапорт, Отто|Отто Лапорт]]|de|Otto Laporte||1}}, [[Фрёлих, Герберт|Герберт Фрёлих]]. В Мюнхене стажировались молодые физики из разных стран мира, в том числе [[Полинг, Лайнус Карл|Лайнус Полинг]], [[Раби, Исидор Айзек|Исидор Раби]] и другие<ref>{{статья|автор= M. Eckert. |заглавие= Sommerfeld School |ссылка= http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-70626-7_200 |издание= Compendium of Quantum Physics |год= 2009 |pages= 716—719}}</ref>{{sfn|Forman, Hermann|1975|p=529|name="Forman-Hermann-529"}}. [[Альберт Эйнштейн]] в письме Зоммерфельду (1922) так охарактеризовал его научно-педагогический талант:

В [[1912 год в науке|1912 году]] Зоммерфельд ввёл так называемые [[Условия излучения Зоммерфельда|условия излучения]], которые выделяют единственное решение [[Краевая задача|краевой задачи]] для [[Уравнение Гельмгольца|уравнения Гельмгольца]] и состоят в задании [[Асимптотика|асимптотического]] поведения искомой функции на бесконечности. Эти условия применяются в задачах о дифракции, рассеянии и отражении волн различной природы (электромагнитных, звуковых, упругих) и позволяют избавиться от решений, не имеющих физического смысла. Впоследствии условия излучения Зоммерфельда, считающиеся стандартными в математической физике, привлекли внимание чистых математиков и неоднократно модифицировались с целью расширения их области применения. Так, в 1940-е годы {{не переведено 2нп5|Магнус, Вильгельм|Вильгельм Магнус||Wilhelm Magnus||1}} и [[Реллих, Франц|Франц Реллих]] дали строгое доказательство единственности решения краевой задачи при менее жёстких требованиях к характеру решений, чем это предполагалось самим Зоммерфельдом; условия излучения также нашли применение при решении других (более общих) задач{{sfn|Schot|1992}}.

В работе «Математическая теория дифракции» (1896) Зоммерфельд, воспользовавшись [[Метод изображений|методом изображений]] на двухлистной римановой поверхности, получил первое математически строгое решение (в форме интеграла по комплексной области) проблемы [[Дифракция света|дифракции электромагнитных волн]] на прямолинейном крае. Этот подход был более общим, чем применявшиеся ранее (например, {{не переведено 2нп5|метод Кирхгофа|||Kirchhoff's diffraction formula||1}}), и мог использоваться для решения дифференциальных уравнений из других разделов физики{{sfn|Schot|1992|pp=390—391}}{{sfn|Eckert (PhSc)|2003|pp=170, 181—183}}. Вскоре он был подхвачен [[Фойгт, Вольдемар|Вольдемаром Фойгтом]] и [[Пуанкаре, Анри|Анри Пуанкаре]] и ныне считается классическим. В [[1899 год]]у Зоммерфельд обратился к задаче о [[Распространение радиоволн|распространении электромагнитных волн]] вдоль проводов. Эта проблема была впервые поставлена ещё [[Герц, Генрих Рудольф|Генрихом Герцем]], который рассмотрел случай бесконечно тонкого провода, и представляла значительный практический интерес. Зоммерфельд получил строгое решение для электромагнитного поля как функции параметров материала провода конечного диаметра<ref name="Born-278" />. Впоследствии он обращался и к другим прикладным задачам электродинамики, в частности исследовал сопротивление [[Катушка индуктивности|катушек]] при пропускании через них [[Переменный ток|переменного тока]]<ref name="Born-279" />. В [[1909 год в науке|1909 году]] учёный опубликовал работу, в которой рассмотрел распространение волн, испускаемых [[Диполь (электродинамика)|электрическим диполем]], расположенным вблизи границы раздела двух сред. Применив разработанный им метод разложения решений в ряд по [[Бесселевы функции|бесселевым функциям]] комплексного аргумента, Зоммерфельд пришёл к выводу о существовании в данной задаче двух типов волн: волны первого типа распространяются в пространстве, а второго — вдоль поверхности раздела. Поскольку под границей раздела может подразумеваться поверхность земли или моря, эта работа нашла применение в актуальной в то время области [[Радиотелеграф|беспроводной телеграфии]]{{sfn|Born|1952|p=281|name="Born-281"}}.

Во время работы в [[Ахен]]е Зоммерфельд опубликовал ряд статей инженерной направленности. Их темами были гидродинамическая теория смазки (имя учёного носит одна из важных характеристических величин этой дисциплины — {{не переведено 2нп5|число Зоммерфельда|||Sommerfeld number||1}}), динамические аспекты [[Прочность|прочности]] материалов, колебания в [[динамо-машина]]х, действие вагонных тормозов<ref name="Born-279" />. Он сотрудничал с [[Фёппль, Август|Августом Фёпплем]] и {{не переведено 2нп5|Шлик, Эрнст Отто|Отто Шликом|de|Ernst Otto Schlick||1}} в изучении резонансных явлений при колебаниях мостов и кораблей{{sfn|Forman, Hermann|1975|p=527}}. Кроме того, Зоммерфельд консультировал судостроителей об использовании [[Гироскоп|волчков]] для стабилизации движения кораблей, а также планировал написать вместе с железнодорожным инженером {{не переведено 2нп5|Фон Боррис, Август|Августом фон Боррисом|de|August von Borries||1}} учебник по [[локомотив]]ам (эта задумка так и осталась нереализованной){{sfn|Eckert (PhSc)|2003|p=174}}.

В 1906 году работа Зоммерфельда по теоретическому описанию изгиба пластин и рельсов навела его на мысль об аналогичном подходе к вычислению критической скорости течения, при которой происходит переход к турбулентности. Однако математические затруднения надолго задержали прогресс в этом направлении. Не сумев получить окончательного решения, учёный решил представить метод, при помощи которого он надеялся добиться успеха, в [[Рим]]е на [[Международный конгресс математиков|Международном математическом конгрессе]] в апреле [[1908 год в науке|1908 года]]. Рассмотрев случай плоского [[Течение Куэтта|течения Куэтта]], Зоммерфельд свёл проблему к задаче на [[Собственное значение|собственные значения]], из которой в принципе можно получить значения [[число Рейнольдса|чисел Рейнольдса]], соответствующие неустойчивости течения. Следует отметить, что в этой работе впервые явным образом был использован термин «число Рейнольдса». Фактически представленный подход являлся первым обобщением известного метода малых колебаний на случай вязкой жидкости. Хотя сразу никаких продвижений в решении полученных уравнений не последовало, Зоммерфельд продолжал интересоваться этой темой и предлагал её своим ученикам. Например, {{не переведено 2нп5|Хопф, Людвиг|Людвиг Хопф|de|Ludwig Hopf||1}} в своей докторской диссертации (1909) экспериментально исследовал условия появления турбулентности при течении жидкости через открытый канал{{sfn|Eckert (EPJH)|2010|pp=34—37}}. Независимо от Зоммерфельда аналогичный подход был развит в 1907 году ирландским математиком {{не переведено 2нп5|Орр, Уильям Макфедден|Уильямом Орром||William McFadden Orr||1}}, так что полученное ими выражение известно в теории турбулентности как [[уравнение Орра — Зоммерфельда]]. В последующие годы этот метод с переменным успехом использовался рядом учёных (Хопф, [[Мизес, Рихард Эдлер фон|Рихард фон Мизес]], [[Нётер, Фриц|Фриц Нётер]], [[Вернер Гейзенберг]] и другие), однако математические сложности во многом остались непреодолёнными; также не удалось достичь полного соответствия между теорией и опытными данными{{sfn|Eckert (EPJH)|2010|pp=38—47}}.

В 1911 году Зоммерфельд обратился непосредственно к проблеме происхождения [[Квант действия|кванта действия]] — загадочной в то время [[постоянная Планка|постоянной Планка]] <math>h</math>. Этот интерес, по-видимому, стимулировала работа [[{{нп5|Гааз, Артур Эрих|Артура Гааза]]|en|Arthur Erich Haas||1}}, в которой была представлена одна из первых попыток связать константу Планка с параметрами атомной структуры вещества (зарядом и массой электрона). Опираясь на модель [[атом]]а [[Томсон, Джозеф Джон|Дж. Дж. Томсона]], Гааз получил выражение для [[постоянная Ридберга|постоянной Ридберга]], которое лишь численным множителем отличалось от правильного (выведенного [[Бор, Нильс|Нильсом Бором]] позже, в 1913 году). Эта работа привлекла внимание Зоммерфельда, который, признавая возможность связи между квантовой гипотезой и строением атома, возражал, однако, против попыток сведения проблемы к поиску чисто механических моделей: ''«Электромагнитное или механическое „объяснение“ <math>h</math> представляется мне столь же никчёмным и бесплодным, как и механическое „объяснение“ уравнений Максвелла»''{{sfn|Джеммер|1985|с=50—53}}. Осенью 1911 года в своём докладе на первом [[Сольвеевский конгресс|Сольвеевском конгрессе]] Зоммерфельд высказал гипотезу, что постоянная Планка не просто имеет размерность [[Действие (физическая величина)|действия]], но и в самом деле связана с этой величиной, а именно: в каждом элементарном процессе действие атома изменяется на величину, равную <math>h/2\pi</math>. При помощи этой гипотезы учёный смог объяснить [[фотоэффект]], получив формулу Эйнштейна, то есть продемонстрировал зависимость энергии фотоэлектрона только от частоты света, но не от его интенсивности. Хотя гипотеза Зоммерфельда была вскоре отброшена, эта работа указала новый подход к трактовке квантовых явлений и сыграла значительную роль в развитии квантовой теории{{sfn|Джеммер|1985|с=64—65}}.

Обобщённые квантовые условия такого вида, часто называемые условиями Бора — Зоммерфельда, были независимо получены [[{{нп5|Уилсон, Уильям (учёный)|Уильямом Уилсоном]]|en|William Wilson (''English academic)|William Wilson'')|1}} и [[{{нп5|Ишивара, Джун|Джуном Ишиварой]]|de|Ishihara Jun||1}}. Однако, в отличие от этих учёных, Зоммерфельд успешно применил полученные условия к описанию атомных спектров. Первым вопросом, который он рассмотрел, стала задача о неподвижной плоской эллиптической орбите электрона в атоме водорода (две степени свободы). Записав свои квантовые условия в [[Полярные координаты|полярных координатах]] и введя [[Орбитальное квантовое число|азимутальное]] и радиальное квантовые числа (такими терминами были обозначены соответствующие числа <math>n_k</math>), Зоммерфельд получил формулу для энергии электрона на стационарной орбите. Это выражение давало те же уровни энергии, что и формула Бора для круговых орбит; энергия уровней зависела лишь от суммы азимутального и радиального квантовых чисел, названной [[Главное квантовое число|главным квантовым числом]]. Далее Зоммерфельд рассмотрел атом водорода как систему с тремя степенями свободы и пришёл к выводу, что угол наклона плоскости орбиты к выбранной полярной оси может принимать дискретный набор значений. Это явление, которое получило название «пространственного квантования», должно проявлять себя при задании оси внешним образом (например, направлением магнитного поля){{sfn|Джеммер|1985|с=96—100}}. Квантовые условия Бора — Зоммерфельда получили обоснование в рамках теории [[Адиабатический инвариант|адиабатических инвариантов]] ([[Эренфест, Пауль|Пауль Эренфест]], 1916) и были строго выведены в 1926 году, уже после создания волновой механики (в рамках [[Метод Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна|приближения ВКБ]]){{sfn|Джеммер|1985|с=103, 107—108}}.

Зоммерфельд, не удовлетворённый существовавшими механическими моделями, обратился к классификации данных по оптическим спектрам и предложил несколько эмпирических правил. Так, в [[1919 год в науке|1919 году]] совместно с [[Коссель, Вальтер|Вальтером Косселем]] он сформулировал так называемый {{не переведено 2нп5|закон спектроскопического смещения|||Sommerfeld–Kossel displacement law||1}}, согласно которому спектр однократно ионизированного элемента имеет ту же мультиплетную структуру, что и спектр неионизированного элемента из предшествующей ячейки [[Таблица Менделеева|таблицы Менделеева]]. Другим правилом, призванным упорядочить многочисленные экспериментальные наблюдения, был «закон обмена»: если неионизированный элемент имеет в спектре дублет, то в спектре ионизированной формы того же элемента появится триплет. Отдельная целочисленная закономерность касалась расщепления линий в магнитном поле при аномальном эффекте Зеемана{{sfn|Seth (SHPC)|2008|pp=339—340}}. В [[1920 год в науке|1920 году]], стремясь объяснить отсутствие в спектрах некоторых линий, Зоммерфельд предположил существование дополнительного квантового числа, которое назвал «внутренним квантовым числом» (по предложению Бора, оно получило обозначение <math>j</math>). Таким образом, каждый [[Спектральный терм|терм]] (энергетический уровень) характеризовался уже тремя [[Квантовое число|квантовыми числами]]. Анализируя экспериментальные данные, учёный смог приписать числу <math>j</math> такие значения, чтобы выполнялось [[правила отбора|правило отбора]] <math>\Delta j=\pm 1; 0</math>. Хотя выбор значений нового квантового числа допускал другие варианты, его введение оказалось полезным для упорядочивания спектров. Его физический смысл был прояснён в рамках «гипотезы магнитного остова», сформулированной Зоммерфельдом и [[Ланде, Альфред|Ланде]]. Согласно этой гипотезе, мультиплетная структура линий обусловлена своеобразным внутренним эффектом Зеемана, при котором внешний (оптический) электрон движется в магнитном поле, порождаемом ядром и внутренними электронами (атомным остовом). Этот подход позволил дать трактовку числа <math>j</math>, как характеристики полного момента импульса атома{{sfn|Джеммер|1985|с=132—134}}.

Уже после создания квантовой механики Зоммерфельд принял участие в становлении квантовой теории [[металл]]ов. Классическая электронная [[Теория Друде|теория Друде — Лоренца]] (1900—1905), основанная на модели [[Идеальный газ|идеального газа]] электронов, была неспособна объяснить термодинамические и магнитные свойства металлов{{sfn|Hoddeson, Baym|1980|pp=8—11}}. В конце 1926 года [[Вольфганг Паули]] успешно применил новую квантовую [[Статистика Ферми — Дирака|статистику Ферми — Дирака]] к описанию свободного [[Вырожденный газ|вырожденного электронного газа]] и в рамках этой модели получил объяснение слабого [[парамагнетизм]]а металлов. Зоммерфельд узнал об этой работе весной [[1927 год в науке|1927 года]], когда посетил Паули в [[Гамбург]]е, и предложил применить новый подход к проблемам, которые не могли быть решены в рамках чисто классической теории Друде — Лоренца. К осени 1927 года Зоммерфельду удалось далеко продвинуться по этому пути. Используя статистику Ферми — Дирака и применяя так называемое {{не переведено 2нп5|разложение Зоммерфельда|||Sommerfeld expansion||1}}, он вычислил [[Удельная теплоёмкость|удельную теплоёмкость]] свободного электронного газа при низких температурах, которая оказалась примерно на два порядка меньше классической, что устраняло специфические затруднения прежней теории. Далее он вывел для [[Закон Видемана — Франца|закона Видемана — Франца]] формулу, которая лучше согласовалась с экспериментом, а также дал качественное и отчасти количественное объяснение [[Термоэлектрические явления|термоэлектрическим]], [[Термомагнитный эффект|термомагнитным]] и [[Гальваномагнитные эффекты|гальваномагнитным явлениям]] в металлах{{sfn|Hoddeson, Baym|1980|pp=14—16}}{{sfn|Eckert (HSPS)|1987|pp=209—212}}.

* Иностранный член [[Лондонское королевское общество|Лондонского королевского общества]] (1926), [[Национальная академия наук США|Национальной академии наук США]], [[Академия наук СССР|Академии наук СССР]] (член-корреспондент с 1925, почётный член с 1929), [[Академия деи Линчеи|Академии деи Линчеи]], {{не переведено 2нп5|Индийская академия наук в Бангалоре|Индийской академии наук в Бангалоре||Indian Academy of Sciences||1}}, {{не переведено 2нп5|Королевское общество наук в Упсале|Королевского общества наук в Упсале||Royal Society of Sciences in Uppsala||1}}, [[Австрийская академия наук|Австрийской]], [[Венгерская академия наук|Венгерской]] и [[{{нп5|Испанская королевская академия наук|Испанской академий наук]]|en|Spanish Royal Academy of Sciences||1}}

===; Книги ===

===; Статьи ===

* {{статья|автор= Eckert M. |заглавие= Fluid Mechanicsmechanics in Sommerfeld's Schoolschool |ссылка= http://dx.doi.org/10.1146/annurev-fluid-010814-014534 |издание= Annual Review of Fluid Mechanics |год= 2015 |volume= 47 |pages= 1—20}}