Функция Мёбиуса: различия между версиями

2678 байт добавлено ,  5 лет назад
 
Здесь сумма <math>\sum_{n\leqslant x}</math> интерпретируется как <math>\sum_{n=1}^{\lfloor x\rfloor}</math>.
 
== Обобщённая функция Мёбиуса ==
Несмотря на кажущуюся неестественность определения функции Мёбиуса, его природа может стать ясна при рассмотрении класса функций с аналогичными свойствами обращаемости, вводимых на произвольных [[Частичный порядок|частично упорядоченных множествах]].
 
Пусть задано некоторое частично упорядоченное множество с отношением сравнения <math>\prec</math>. Будем считать, что <math>a \preccurlyeq b \iff a \prec b \lor a = b</math>.
 
=== Определение ===
Обобщённая функция Мёбиуса рекуррентно опредляется соотношением.
: <math>{\mu_A^*}(a,b) = \begin{cases}1, & a=b \\ -\sum \limits_{a \preccurlyeq z \prec b} {{\mu_A^*}(a,z)}, & a \prec b \\ 0, & b \prec a\end{cases}</math>
 
=== Формула обращения ===
Пусть функции g и f принимают вещественные значения на множестве <math>A</math> и выполнено условие <math>g(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {f(y)}</math>.
 
Тогда <math>f(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {{\mu_A^*}(y,x) g(y)}</math>
 
=== Связь с классической функцией Мёбиуса ===
Если взять в качестве <math>A</math> множество натуральных чисел, приняв за отношение <math>a \prec b</math> отношение <math>a \mid b \land a \not = b</math>, то получим <math>{\mu_{\mathbb N}^*}(a,b) = \mu\left({\frac{b}{a}}\right)</math>, где <math>\mu</math> - классическая формула Мёбиуса.
 
Это, в частности означает, что <math>\mu(n)={\mu_{\mathbb N}^*}(1,n)</math>, и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества <math>\sum \limits_{k=1}^{n} {(-1)^k C_n^k} = 0</math>, так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на полный квадрат, можно рассматривать как суммирование по [[Булеан|булеану]] его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана.
 
== См. также ==