Санкт-петербургский парадокс: различия между версиями

Рассматривается следующая задача. Вступая в игру, игрок платит некоторую сумму, а затем подбрасывает монету (вероятность каждого исхода — 50 %), пока не выпадет орёл. При выпадении орла игра заканчивается, а игрок получает выигрыш, рассчитанный по следующим правилам. Если орёл выпал при первом броске, игрок получает 2⁰ дукатов, при втором броске — 2¹ дукатов и так далее: при ''n''-ном броске — 2^''n''-1 дукатов. Другими словами, выигрыш возрастает от броска к броску вдвое, пробегая по степеням двойки — 1, 2, 4, 8, 16, 32 и  так далее.

Вопрос: какой размер вступительного взноса делает такую игру справедливой?

: <math>M=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2 + \frac{1}{8}\cdot 4 + \frac{1}{16}\cdot 8 + \cdots=</math>

:: <math>=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots=</math>

:: <math>=\infty \,.</math>

Парадокс заключается в том, что хотя вычисленное значение этого справедливого взноса и равно [[бесконечность|бесконечности]], то есть выше любого возможного выигрыша, но в то же время, реальные игроки ощущают, что даже 25 единиц денег (дукатов)  — слишком высокая цена для входа в игру.

Например, для 1000 игр и ''p''=10^-6−6 получаем средний выигрыш около 15.

}}</ref>).

Поскольку в Санкт-Петербургском парадоксе лишь маловероятные события приносят высокие выигрыши, которые ведут к бесконечному значению математического ожидания выигрыша, это может помочь разрешить парадокс.

Различные авторы, включая Жана ле Рон д'Аламберад’Аламбера и Джона Мэйнарда Кейнса, отрицали метод максимизации мат. ожидания как правильный метод расчетов, даже саму полезность мат.ожидания для таких случаев. В частности, Кейнс настаивал, что ''относительный риск'' альтернативного события может быть достаточно высоким для того, чтобы отказаться от всех вариантов наступления этого альтернативного события, даже для случая когда мат.ожидание положительного события сверхбольшое.

Подход с использованием испытаний, математически корректный, предложил [[Феллер, Уильям|Уильям Феллер]] в 1937 году. Если не использовать строгое описание, то интуитивное объяснение таково. Метод использует методику "«играть в эту игру с большим количеством людей, и потом вычислить математическое ожидание выигрыша в испытаниях"». Согласно этой методике, если последовательность ожиданий сумм выигрыша расходится, то в этом случае требуется необходимость условия возможности бесконечного количества проведенных игр, а если количество проведенных игр в испытаниях с одним человеком ограничено неким числом, то ожидание сходится к некоторому намного меньшему, чем это число, значению.