Ковариантность и контравариантность (математика): различия между версиями

м
→‎Контравариантность и ковариантность тензоров: оформление, пунктуация, орфография
м (→‎Контравариантность и ковариантность тензоров: оформление, пунктуация, орфография)
Сказанное про контравариантность и ковариантность векторов можно обобщить на объекты с несколькими индексами — [[тензор]]ы, частными случаями которых и являются векторы и ковекторы.
 
По аналогии с линейным функционалом рассмотрим функционал, ставящий в соответствие нескольким (<math>k</math>) векторам пространства <math>V</math> некоторое число, обладающий свойством ''линейности'' по каждому вектору. Это так называемые '''''полилинейные функции'''''. Можно показать, что все <math>k</math>-линейные функции образуют линейное пространство, в котором можно также ввести базис и представить произвольную <math>k</math>-линейную функцию в координатном виде. Можно также показать, что их координаты преобразуются как базис основного пространства (так же как и ковариантные векторы). Поэтому такие полилинейные функции называют <math>k</math> ''раз коваринтнымиковариантными тензорами''. Их записывают с нижними индексами. Например, дважды ковариантный тензор обозначается так <math>A_{ij}</math>.
 
Аналогично можно рассматривать полилинейные функции не в основном пространстве, а в сопряженном пространстве <math>V^*</math>, совокупность которых также образует линейное пространство <math>V^{**}</math>, которое является сопряженным к <math>V^*</math>. В координатном представлении в дуальном базисе они преобразуются такжетак же, как базис пространства <math>V^*</math>, а значит противоположно базису основного пространства <math>V</math>. То есть они обладают свойством контрвариантностиконтравариантности и называются ''<math>k</math> раз контравариантным тензором''. Их обозначают с верхними индексами. В частности, дважды контравариантный тензор запишется как <math>A^{ij}</math>. Для рассматриваемых обычно пространств выполняется так называемый канонический изоморфизм <math>V</math> и <math>V^{**}</math>, то есть эти пространства можно считать неразличимыми. Поэтому 1-раз контравариантный тензор можно считать эквивалентным обычному контравариантному вектору.
 
Для рассматриваемых обычно пространств выполняется так называемый канонический изоморфизм <math>V</math> и <math>V^{**}</math>, то есть эти пространства можно считать неразличимыми. Поэтому 1-раз контравариантный тензор можно считать эквивалентным обычному контравариантному вектору.
Обобщая приведенные определения можно рассматривать полилинейные функции от векторов и ковекторов одновременно. Соответственно, при смене базиса координатная запись такой функции будет преобразовываться с участием как матрицы преобразования основного базиса (в количестве ковекторов, участвующих в полилинейной функции), так и обратного ему (в количестве векторов полилинейной функции). Соответствующий тензор называют ''m-раз контрвариантным и k-раз ковариантным'' — <math>T^m_k</math>. Для ковариантных компонент используют нижние индексы, для контравариантных — верхние. Например, тензор 1-раз контрвариантный и 1 раз ковариантный тензор обозначается <math>A^i_j</math>. Общее количество индексов <math>k+m</math> называется ''рангом'' или ''валентностью'' тензора. Компонентами тензора являются значения полилинейной функции на базисных векторах. Например, <math>A^i_j=A(e^i,e_j)</math>.
 
Обобщая приведенныеприведённые определения, можно рассматривать полилинейные функции от векторов и ковекторов одновременно. Соответственно, при смене базиса координатная запись такой функции будет преобразовываться с участием как матрицы преобразования основного базиса (в количестве ковекторов, участвующих в полилинейной функции), так и обратного ему (в количестве векторов полилинейной функции). Соответствующий тензор называют ''m-раз контрвариантнымконтравариантным и k-раз ковариантным'' — <math>T^m_k</math>. Для ковариантных компонент используют нижние индексы, для контравариантных — верхние. Например, тензор 1-раз контрвариантныйконтравариантный и 1 раз ковариантный тензор обозначается <math>A^i_j</math>. Общее количество индексов <math>k+m</math> называется ''рангом'' или ''валентностью'' тензора. Компонентами тензора являются значения полилинейной функции на базисных векторах. Например, <math>A^i_j = A(e^i, e_j)</math>.
Операция суммирования по одинаковым разноуровневым индексам тензоров называется ''сверткой'' по этим индексам. Как уже было указано выше по правилу Эйнштейна знак суммирования пропускают. В результате свертки тензора по одному индексу его ранг уменьшается на 2. Например, отображение некоторого контравариантного вектора с помощью некоторого линейного оператора в тензорной записи будет иметь вид <math>y^i= A^i_jx^j</math>. Линейные операторы являются классическим примером тензора типа <math>T^1_1</math>.
 
Операция суммирования по одинаковым разноуровневым индексам тензоров называется ''сверткойсвёрткой'' по этим индексам. Как уже было указано выше, по правилу Эйнштейна знак суммирования пропускают. В результате сверткисвёртки тензора по одномупаре индексуиндексов его ранг уменьшается на 2. Например, отображение некоторого контравариантного вектора с помощью некоторого линейного оператора в тензорной записи будет иметь вид <math>y^i= A^i_jxi_j x^j</math>. Линейные операторы являются классическим примером тензора типа <math>T^1_1</math>.
При преобразовании тензора типа <math>T^m_k</math> при смене базиса m раз используется обратная матрица преобразования базиса и k раз обратная. Например, тензор <math>A^i_j</math> типа <math>T^1_1</math> при смене координат преобразуется следующим образом:
 
При преобразовании тензора типа <math>T^m_k</math> при смене базиса m раз используется обратная матрица преобразования базиса и k раз обратная. Например, тензор <math>A^i_j</math> типа <math>T^1_1</math> при смене координатбазиса преобразуется следующим образом:
<math>A^{i'}_j =T^q_j S^i_p A^p_q</math>
 
<math>A^{i'}_j_{j'} = T^q_jq_{j'} S^i_p{i'}_p A^p_q</math>
 
Вообще, необходимо понимать, что сам объект от представления его в базисе не зависит. Все преобразования — это представления одного и того же объекта (тензора).