Ковариантность и контравариантность (математика): различия между версиями

== Обобщение на криволинейные базисы и искривлённые пространства ==
 
БазисыКоординаты евклидового (псеводоевклидового) могут быть и криволинейными. Классический пример криволинейных координат — полярные координаты на евклидовой плоскости. В таком случае координатные базисы <math>dx^i</math> можно считать линейными лишь в бесконечно малых окрестностях данной точки. Поэтому справедливым остаетсяостаётся выражение для квадрата расстояния для достаточно близких точек: <math>(dx)^2= g_{ij}dx^idx^j</math>. В случае криволинейных координат метрический тензор меняется от точки к точке. Таким образом он представляет собой [[тензорное поле]] — каждой точке пространства оказывается сопоставлен некоторый метрический тензор.
 
Более общая ситуация имеет место в случае искривленныхискривлённых пространств — римановых (псевдоримановых) многообразий. ИскривленноеИскривлённое пространство можно наглядно представить для случая двумерной поверхности — некоторая гладкая кривая поверхность в трехмерномтрёхмерном пространстве (например, сферическая поверхность). Внутренняя геометрия такой поверхности (искривленнойискривлённой) — это геометрия искривленногоискривлённого пространства. В общем случае искривленногоискривлённого пространства размерности <math>n</math> его этоможно представить себе как произвольнаяпроизвольную (искривленнаяискривлённую) гиперповерхность в пространстве большей размерности. Для гладких [[многообразие|многообразий]] со счетной [[база топологии|базой]] доказана [[теорема Уитни]] о вложении, согласно которой любое такое многообразие размерности <math>n</math> является вложенным в «плоское» (то есть неискривленноенеискривлённое евклидово или псевдоевклидово) пространство размерности <math>2n</math>.
 
В искривленномискривлённом пространстве могут и не существовать ортогональные и вообще линейные координатные базисы. В общем случае приходится иметь дело именно с криволинейными базисами. В этом случае применение всего вышеуказанного формализма ковариантных и контравариантных векторов приобретает не просто особую важность, а становится неизбежным.
 
=== Общие определения ===
 
В случае криволинейных координат или искривленныхискривлённых пространств новые координаты являются, вообще говоря, нелинейными функциями старых координат: <math>x'^i=x'^i(x^1,x^2,...,x^n)</math>. Для бесконечно малых изменений старых координат <math>dx^j</math> можно определить изменения новых координат через якобиан указанных функций:
 
<math>dx'^i=\frac {\partial x'^i}{\partial x^j}dx^j</math>
 
Любой вектор <math>v</math>, преобразовывающийсяпреобразующийся так же, как и <math>dx^i</math>, то есть
 
<math>v'^i=\frac {\partial x'^i}{\partial x^j}v^j</math>
<math>\frac {\partial f(x)} {\partial x'^i}=\frac {\partial f(x)}{\partial x^j} \frac {\partial x^j}{\partial x'^i}</math>
 
Любой вектор <math>u</math>, преобразовывающийсяпреобразующийся такжетак же, как градиент, то есть
 
<math>u'_i= \frac {\partial x^j}{\partial x'^i}u_j</math>
называется ''ковариантным вектором''.
 
Соответственно, ''<math>m</math> раз контравариантным и <math>k</math> раз ковариантным тензором'' (тензором типа <math>T^m_k</math>) называется объект, преобразующийся при смене базиса применением <math>m</math> раз «обратного» преобразования <math>\frac {\partial x'^i}{\partial x^j}</math> и <math>k</math> раз «прямого» преобразования <math>\frac {\partial x^j}{\partial x'^i}</math>.
 
Например, дважды контравариантный тензор <math>A^{ij}</math> и дважды ковариантный тензор <math>A_{ij}</math> преобразуются по следующим законам:
 
:<math>{A'}^{ij}=\frac {\partial x'^i}{\partial x^q}\frac {\partial x'^j}{\partial x^p}A^{pq}</math> для контравариантного и <math>A_{ij}=\frac {\partial x^q}{\partial x'^i}\frac {\partial x^p}{\partial x'^j}A_{pq}</math>
:<math>{A'}_{ij}=\frac {\partial x^q}{\partial x'^i}\frac {\partial x^p}{\partial x'^j}A_{pq}</math>
 
А для 1 раз контравариантного и 1 раз ковариантного тензора преобразования имеют вид:
 
:<math>{A'}^j_i=\frac {\partial x^p}{\partial x'^i}\frac {\partial x'^j}{\partial x^q}A^q_p</math>
 
Обычно для указания, что компоненты тензора преобразованы к новому базису со штрихом, штрих указывают у соответствующих индексов тензора, а не у его буквенного обозначения, в таком случае вышеуказанные формулы записывают так
 
:<math>A^{i'j'}=\frac {\partial x^{i'}}{\partial x^q}\frac {\partial x^{j'}}{\partial x^p}A^{pq},\qquad
A_{i'j'}=\frac {\partial x^q}{\partial x^{i'}}\frac {\partial x^p}{\partial x^{j'}}A_{pq},\qquad
A^{j'}_{i'}=\frac {\partial x^p}{\partial x^{i'}}\frac {\partial x^{j'}}{\partial x^q}A^q_p</math>
 
== Алгебра и геометрия ==