Бесконечно малая и бесконечно большая: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
алгебра |
De Riban5 (обсуждение | вклад) неужели очевидные вещи могут быть ОРИСС?!? |
||
Строка 2:
'''Бесконечно большая''' — числовая функция или последовательность, которая стремится к [[Бесконечность|<u><font color="#0066cc">бесконечности</font></u>]] определённого знака.
== Исчисление бесконечно малых и больших ==
''Исчисление бесконечно малых'' — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная [[Сумма (математика)|<u><font color="#0066cc">сумма</font></u>]] бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для [[Дифференциальное исчисление|<u><font color="#0066cc">дифференциальных</font></u>]] и [[Интегральное исчисление|<u><font color="#0066cc">интегральных исчислений</font></u>]], составляющих основу современной [[Высшая математика|<u><font color="#0066cc">высшей математики</font></u>]]. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием [[Предел (математика)|<u><font color="#0066cc">предела</font></u>]].
=== Бесконечно малая ===
Последовательность <math>a_n</math> называется ''бесконечно малой'', если <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0</math>. Например, последовательность чисел <math>a_n=\dfrac{1}{n}</math> — бесконечно малая.
Строка 12 ⟶ 14 :
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если <math>\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=a</math>, то <math>f(x)-a=\alpha(x)</math>, <math>\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-a)=0</math>.
===Бесконечно большая ===▼
Подчеркнём, что бесконечно малую величину следует понимать как [[Переменная величина|переменную величину]] (функцию), которая лишь ''в процессе своего изменения'' [при стремлении <math>x</math> к <math>a</math> (из <math>\lim\limits_{x\to a}f(x)=0</math>)] делается меньше произвольного числа (<math>\varepsilon</math>). Поэтому, например, утверждение типа «одна миллионная есть бесконечно малая величина» неверно: о [[Число|числе]] [абсолютном значении] не имеет смысла говорить, что оно бесконечно малое.<ref>Бесконечно малые и бесконечно большие величины // Справочник по математике (для ср. уч. заведений)/ Цыпкин А.Г., под ред. Степанова С.А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 337–340. — 480 с.</ref>
▲=== Бесконечно большая ===
Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция <math>x\sin x</math>, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при <math>x\to+\infty</math>.
Строка 20 ⟶ 25 :
Функция называется ''бесконечно большой на бесконечности'', если <math>\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\infty</math> либо <math>\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\infty</math>.
===Свойства бесконечно малых ===▼
Как и в случае бесконечно малых, необходимо отметить, что ни одно отдельно взятое значение бесконечно большой величины не может быть названо как «бесконечно большое» – бесконечно большая величина — это [[Функция (математика)|функция]], которая лишь ''в процессе своего изменения'' может стать больше произвольно взятого числа.
▲=== Свойства бесконечно малых ===
*Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
*Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
*Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
*Если <math>a_n</math> — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то <math>b_n=\dfrac{1}{a_n}</math> — бесконечно большая последовательность.
== Сравнение бесконечно малых ==
=== Определения ===
Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же <math>x\to a</math> величины <math>\alpha(x)</math> и <math>\beta(x)</math> (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).
*Если <math>\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\beta}{\alpha}=0</math>, то <math>\beta</math> — бесконечно малая ''высшего порядка малости'', чем <math>\alpha</math>. Обозначают <math>\beta=o(\alpha)</math> или <big><font size="5">β≺α</font></big>.
Строка 33 ⟶ 42 :
*Если <math>\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\beta}{\alpha^m}=c</math> (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина <math>\beta</math> имеет ''<math>m</math>-й порядок малости'' относительно бесконечно малой <math>\alpha</math>.
Для вычисления подобных пределов удобно использовать [[Правило Лопиталя|<u><font color="#0066cc">правило Лопиталя</font></u>]].
=== Примеры сравнения ===
*При <math>{x\to 0}</math> величина <math>x^5</math> имеет высший порядок малости относительно <math>x^3</math>, так как <math>\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^5}{x^3}=0</math>. С другой стороны, <math>x^3</math> имеет низший порядок малости относительно <math>x^5</math>, так как <math>\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^3}{x^5}=\infty</math>.
:С использованием [[«O» большое и «o» малое|<u><font color="#0066cc">''О''-символики</font></u>]] полученные результаты могут быть записаны в следующем виде <math>x^5=o(x^3)</math>.
| |||