|
При этом число <math>k</math>, определяемое [[Сигнатура (математика)|сигнатурой]] квадратичной части ростка <math>f</math> в точке <math>0</math>, называется '''индексом''' критической точки <math>0</math> данной функции — частный случай общего понятия [[индекс Морса]].
{{Hider|
title = Доказательство|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
Линейная часть функции <math>\,f(x)</math> в точке <math>0</math> равна нулю, а квадратичная часть невырожденная. Сделаем линейную замену переменных <math>(x_1, \ldots ,x_n)</math>, приводящую квадратичную часть к [[Квадратичная форма|каноническому виду]] <math>x_1^2-\dots-x_k^2+x_{k+1}^2+\dots+x_n^2</math>.
Затем, дважды применяя [[Лемма Адамара|лемму Адамара]], представим <math>\,f(x)</math> в виде
: <math>f(x)=f(0)-x_1^2(1+h_1(x)) -\dots -x_k^2(1+h_k(x)) + x_{k+1}^2(1+h_{k+1}(x)) +\dots+ x_n^2(1+h_n(x))</math>,
где все <math>\,h_i(x)</math> — функции класса <math>\,C^{r}</math>, обращающиеся в нуль в точке <math>0</math>. Замена переменных <math>x_i \to x_i \sqrt{1+h_i(x)}</math>, определенная в некоторой окрестности точки <math>0</math>, приводит <math>\,f(x)</math> к требуемой форме.}}
== Вариации и обобщения ==
| 