Численные методы: различия между версиями

'''Вычислительные (численные) методы''' — методы решения [[Математика|математических]] задач в численном виде <ref>Муха В. С. Вычислительные методы и компьютерная алгебра: учеб.-метод. пособие. — 2-е изд., испр. и доп. — Минск: БГУИР, 2010.- 148 с.: ил, ISBN 978-985-488-522-3, УДК 519.6 (075.8), ББК 22.19я73, М92</ref>

В современной науке для решения задач прикладной математики формулируется [[математическая модель]] в терминах [[Интегральное уравнение|интегральных]] и [[Дифференциальное уравнение|дифференциальных уравнений]] функций [[Непрерывность (математика)|непрерывного аргумента]]. Переход от континуальной к дискретной математической модели осуществляется заменой функций непрерывного аргумента функциями [[Дискретность|дискретного аргумента]]. В получившихся [[Конечная разность|конечно-разностных уравнениях]] интеграл и производная представлены конечной суммой и разностным отношением, соответственно<ref name="KibEnc"/>. Получившаяся модель представляет собой [[Система уравнений|систему алгебраических уравнений]], для решения которой с определённой точностью составляется [[Алгоритм|вычислительный алгоритм]], который реализуется на вычислительных машинах<ref name="KibEnc"/>{{sfn|Калиткин|1978|с=3}}.

Основными требованиями к вычислительному алгоритму являются: высокая [[точность]], [[устойчивость]] и экономичность. При переходе к дискретной модели повляется [[погрешность|погрешность аппроксимации]], а при реализации вычислений - — погрешность округления, поэтому для реальных вычислительных алгоритмов проводится анализ погрешностей и устойчивости вычислительного алгоритма<ref name="KibEnc"/>. Необходимо помнить, что вычислительная машина выполняет только четыре основных арифметических операции{{sfn|Березин, Жидков|1962|с=33}}. Точность решения при этом должна быть несколько выше ожидаемой точности физического эксперимента{{sfn|Калиткин|1978|с=2}}. При определении критериев и условий роста погрешности долгое время не принималась во внимание погрешность округления. Необходимость гарантированных оценок точности реальных вычислений привела к возникновению [[Интервальная арифметика|интервального анализа]]. Оптимальным алгоритмом считается алгоритм с минимальной погрешностью или с минимальным числом операций при заданной погрешности. При этом разрабатывается теория параллельных вычислительных алгоритмов<ref name="KibEnc"/>.

Для многих важных классов задач разработаны разнообразные численные методы решения. По способу дискретизации численные методы делятся на проекционные и конечно-разностные, по способу решения - — на прямые и итрационныеитерационные. В методах конечных разностей ставится задача определить значения функции на дискретном множестве точек, в то время как в проекционных методах функция представлена линейной комбинацией элементов. При этом дискретная функция также может рассматриваться как линейная комбинация полиномов. Прямые методы решения обладают слабой устойчивостью, в то время как итерационные методы более устойчивы и обеспечивают быструю сходимость<ref name="KibEnc"/>.

При решении больших систем необходимо вычислять [[Собственное значение|собственные значения]] и [[Собственный вектор|вектора матриц]], сводить нелинейные системы уравнений к линейным. Для некоторых задач ([[нейронная физика]], [[физика плазмы]], [[экономика]]) модель строится непосредственно на статистической выборке или на крупных объектах. Кроме того, строятся нерегулярные системы, для которых численные методы сочетаются с [[Теория графов|теорией графов]]. Отдельный класс представляют некорректно поставленные задачи<ref name="KibEnc"/>.