Численные методы: различия между версиями

При решении практических задач необходимо многократно вычислять значения заданной функции, что в общем случае является ресурсоёмкой операцией. Возникает необходимость нахождения функции наилучшего [[Равномерная сходимость|равномерного приближения]]{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=331—333}}. Для приближения функции в [[Нормированное пространство|линейном нормированном пространстве]] образуют подпространство размерности <math>n+1</math> всевозможных линейных комбинаций, для которых опеределена [[Норма (математика)|норма]] и существует её [[точная нижняя грань]]. Элемент, в котором эта грань достигается называют элементом наилучшего приближения, или [[Проекция (теория множеств)|проекцией]]{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=333—334}}. Можно доказать что в подпространстве всегда существует элемент наилучшего приближения{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=334—336}}, а при условии строгой нормированности пространства такой элемент является единственным{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=336—337}}. В пространстве непрерывных функций с нормой
: <math>\lVert f \rVert = \sup_{x \in {[a,b)}} |f(x)|</math>
также существует элемент наилучшего приближения{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=337}}, но условием его единственности является наличие не более <math>n</math> различных нулей обобщённого многочлена на отрезке(система[[Многочлены ЧебышеваЧебышёва]]){{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=337—342}}.

Теория функций применима к системе степенных функций, так как она является системой ЧебышеваЧебышёва на любом отрезке{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=347—348}}. Согласно [[Теорема Вейерштрасса|теореме Вейерштрасса]], при увеличении размерности подпространства (эн<math>n стремится к\to бесконечности\infty</math>) разность между проекцией и заданной функцией стремится к нулю{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=349—352}}. Порядок этого приближения зависит от структурных своможно оценить с помойствособенностей функции, его можно определить с помощью [[Многочлен Бернштейна|многочленов Бернштейна]]{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=352—355}}. Система тригонометрических функций также обладает свойствами системы ЧебышеваЧебышёва на отрезке <math>[0;2\pi)</math>, для неё также разность между проекцией и заданной функцией стремится к нулю (вторая теорема Вейерштрасса){{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=355—357}}.

Несмотря на показанное существование многочлена наилучшего приближения, способов его точчноготочного построения не существует. Вместо этого используют несколько способов приближённого построения многочленов наилучшего равномерного приближения{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=364—365}}.