Численные методы: различия между версиями

[[Производная функции|Производную]] основной функции считают приближённо равной производной интерполирующей функции, при этом производная [[Остаточный член|остаточного члена]] интерполяционной формулы может быть велика, особенно для производных высших порядков{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=217—220}}. Формулы численного дифференцирования во многом основаны на непосредственном дифференцировании интерполяционных формул Ньютона{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=220—226}}, Гаусса, Стирлинга и Бесселя{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=226—228}}, построенных на распределённых разностях, но есть и безразностные формулы. В частности, когда для численного дифференциала используется непосредственно формула Лагранжа для равных промежутков{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=230—234}}, [[метод неопределённых коэффициентов]] и другие{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=234—236}}.

 

В случае интегрирования, само определение интеграла говорит о возможности его замены [[Интегральная сумма|интегральной суммой]], но этот приём обладает медленной сходимостью и мало пригоден. Интеграл от основной функции считают приближённо равным интегралу от интерполирующей функции и в дальнейшем используют интерполяционные формулы с кратными узлами{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=237—240}}. Использование в качестве подынтегрального выражения интерполяционного многочлена Лагранжа для равных промежутков приводит к [[Формулы Ньютона — Котеса|формулам Ньютона — Котеса]]{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=240—243}} и её частным случаям, [[Метод трапеций|формуле трапеций]], когда кривая подынтегрального выражения заменяется [[Хорда (геометрия)|хордой]] и интеграл равен площади [[Трапеция|трапеции]], и [[Формула Симпсона|формуле Симпсона]], когда кривая подынтегрального выражения заменяется [[Парабола|параболой]], проходящей через три точки{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=243—254}}. Отказавшись от требования равных промежутков с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа можно получить более точные формулы численного интегрирования, в частности [[Метод Гаусса (численное интегрирование)|формулы Гаусса]]{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=254—258}}, [[Интерполирование с кратными узлами|формулы Эрмита]]{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=264—266}}, формулы Маркова{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=266—269}}, формулы Чебышёва{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=269—276}}. [[Список квадратурных формул|Квадратурные процессы]], построенные на интерполяционных формулах Гаусса, всегда сходятся, в то время как формулы Ньютона — Кортеса этим свойствам в общем случае не обладают{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=279—284}}.

 

Существуют и другие способы численного интегрирования, основным из которых является использование [[Гармонический ряд#Формула Эйлера|формул Эйлера]], в которых замена переменных и последующее [[интегрирование по частям]] приводят к формуле численного интегрирования трапецией и поправочного члена, к которому повторно применяется замена переменных и интегрирование по частям. В общем случае формула Эйлера использует в качестве коэффициентов числа и [[многочлены Бернулли]]{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=289—297}}. Вопрос применения того или иного метода численного интегрирования зависит от таких факторов, как вычислительные средства, требуемая точность, способ задания подынтегральной функции. Для ручных вычислений рекомендуется использовать формулы, содержащие разности, в то время как при автоматических вычислениях — безразностные формулы, в особенности формулы Гаусса{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=305—306}}.

 

Для приближённого вычисления кратных интегралов повторно применяют формулы численного интегрирования однократных интегралов, при этом в зависимости от особенностей функции для разных интегралов можно использовать разные формулы. При использовании данного метода необходимо вычислять подынтегральную функцию в большом числе точек, поэтому целесообразно использовать формулы Гаусса и Чебышёва, которые являются более точными{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=315—318}}. Другим способом является замена подынтегральной функции интерполяционным многочленом от двух или несколько переменных{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=318—320}}. Люстерник и Диткин предложили использовать [[Формула Маклорена|формулы Маклорена]] для приближённого вычисления кратного интеграла{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=320—324}}. Вместе с тем, при увеличении кратности интеграла резко растёт число точек, для которых необходимо знать значения подынтегральной функции, чтобы пользоваться методами, основанными на интерполяции. Для вычисления кратных интегралов чаще пользуются вероятностными [[Метод Монте-Карло|методами Монте-Карло]], при этом необходимость получения равновозможных последовательностей создаёт дополнительные погрешности, которые трудно оценить{{sfn|Березин, Жидков, т.1|1962|с=324—325}}.