|
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:252px;">
<div style="width:240px; font-family:arial; font-size:12px; font-weight:bold; background:#fff;">
{| class="wikitable" style="width:100%;"
|-
!''n''!!''n'' sin(1/''n'')
|-
|1||0.841471
|-
|2||0.958851
|-
|colspan="2"|...
|-
|10||0.998334
|-
|colspan="2"|...
|-
|100||0.999983
|}
</div>
<div class="thumbcaption">
С ростом [[Целое число|значения]] ''n'', значение функции ''n'' sin(1/''n'') приближается к 1. Говорят, что "предел последовательности ''n'' [[Синус|sin]](1/''n'') равен 1."
</div>
</div>
</div>
<!-- [[последовательность|последовательности]]-->
{{Значения|Предел}}
В [[математика|математике]] '''пределом последовательности''' элементов [[Метрическое пространство|метрического пространства]] или [[Топологическое пространство|топологического пространства]] называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать» элементы заданной последовательности. Пределом последовательности элементов [[Топологическое пространство|топологического пространства]] является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. В [[Метрическое пространство|метрическом пространстве]] окрестности определяются через [[Метрика (математика)|функцию расстояния]], поэтому понятие предела формулируется на языке расстояний. Исторически первым было понятие [[Предел числовой последовательности|предела числовой последовательности]], возникающее в [[Математический анализ|математическом анализе]], где оно служит основанием для системы приближений и широко используется при построении [[Дифференциальное исчисление|дифференциального]] и [[Интегральное исчисление|интегрального]] исчислений.
Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием [[Предельная точка|предельной точки]] (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке. <!-- Таким образом, у последовательности может быть несколько предельных точек, но, если последовательность сходится, то все предельные точки совпадают друг с другом и совпадают с пределом самой последовательности.--> ▼Обозначение:
<math>\lim_{n \to \infty} x_n = a</math>
(читается: ''предел последовательности икс-энное при эн, стремящемся к бесконечности, равен a'')
Свойство последовательности иметь предел называют ''сходимостью'': если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность ''сходится''; в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность ''расходится''. В [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфовом пространстве]] и, в частности, [[Метрическое пространство|метрическом пространстве]]<ref>Каждое метрическое пространство является автоматически и хаусдорфовым.</ref>, каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности элементов [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфово пространства]] не может быть двух различных пределов. Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из любой последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство обладает свойством [[Компактное пространство|секвенциальной компактности]] (или, просто, компактности, если компактность определяется исключительно в терминах последовательностей).
▲Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием [[Предельная точка|предельной точки]] (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке. <!-- Таким образом, у последовательности может быть несколько предельных точек, но, если последовательность сходится, то все предельные точки совпадают друг с другом и совпадают с пределом самой последовательности.-->
== Определение ==
Пусть дано [[топологическое пространство]] <math>T </math> и последовательность <math>~\{x_n\}.</math> Тогда, если существует элемент <math>x \in T</math> такой, что
: <math>\forall U(x) \exists N: \forall n (n > N \Rightarrow x_n \in U(x))</math>,
где <math>U(x) </math> — открытое множество, содержащее <math>x </math>, то он называется пределом последовательности <math>x_n </math>. Если пространство является [[метрическое пространство|метрическим]], то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент <math>x \in T</math> такой, что
: <math>\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall n (n > N \Rightarrow d(x_n, x) < \varepsilon)</math>,
где <math>d(x,y) </math> — метрика, то <math>x </math> называется пределом <math>x_n </math>.
== Примеры ==
* Если пространство снабжено [[антидискретная топология|антидискретной топологией]], то пределом любой последовательности будет любой элемент пространства.
== Примечания ==
{{примечания}}
== См. также ==
* [[Предел (математика)]]
* [[Предел числовой последовательности]]
* [[Эпсилон-окрестность]]
* [[Последовательность Коши]]
| 