Неравенство Йенсена: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 33:
Остается лишь применить к значению функции в последнем слагаемом неравенство для <math>\ n=2</math>. Таким образом по методу математической индукции неравенство Йенсена полностью оправдано.
}}
=== Геометрическая интерпретация ===
Точка <math>(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})</math> является соответствующей [[Выпуклая комбинация|выпуклой комбинацией]] точек <math>(x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2)), \dots, (x_n, f(x_n))</math>. Из определения выпуклой функции очевидно, что выпуклая оболочка этого множества точек будет совпадать с самим множеством. Значит, из свойств выпуклой комбинации следует, что образованная точка будет лежать внутри многоугольника, построенного на перечисленных точках в указанном порядке (если соединить последнюю с первой).
Геометрически очевидно, что в этом случае точка <math>(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})</math> будет лежать выше одной из прямых вида <math>(x_i;f(x_i))-(x_{i+1};f(x_{i+1}))</math>. Но у выпуклой функции по определению такая прямая лежит выше графика функции. Значит, и точка <math>(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})</math> лежит выше этого графика, что и означает, что <math>f(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i}) \le \sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)}</math>.
=== Интегральная формулировка ===
| |||