Идеал (алгебра): различия между версиями

'''Идеал''' — одно из основных понятий [[Общая алгебра|общей алгебры]]. Наибольшее значение идеалы имеют в теории [[Кольцо (алгебра)|колец]], но также определяются и для [[Полугруппа|полугрупп]], [[Алгебра над кольцом|алгебр]] и некоторых других [[Алгебраическая система|алгебраических структур]]. Название «идеал» ведетведёт своесвоё происхождение от «[[идеальное число|идеальных чисел]]». Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.

Например, в кольцах вместо простых чисел изучаются простые идеалы, как обобщение [[взаимно простые числа|взаимно простых чисел]] вводятся взаимно простые идеалы, можно доказать аналог [[китайская теорема об остатках|китайской теоремы об остатках]] для идеалов.

В некотором важном классе колец (т. н. [[Дедекиндово кольцо|дедекиндовых]]) можно даже получить аналог [[основная теорема арифметики|основной теоремы арифметики]]: в этих кольцах каждый ненулевой идеал можно единственным образом представить как произведение простых идеалов.