|
В [[Общая алгебра|общей алгебре]] '''евклидовоЕвклидово кольцо''' ('''эвклидово— кольцо''') —[[Общая алгебра|общеалгебраическое]] [[кольцо (математика)|кольцо]], в котором существует аналог [[алгоритм Евклида|алгоритма Евклида]].
{{Классы колец}}
Евклидовы кольца можно изобразить на следующей цепочке включений:
: '''[[Коммутативное кольцо|Коммутативные кольца]]''' ⊃ '''[[целостное кольцо|целостные кольца]]''' ⊃ '''[[факториальное кольцо|факториальные кольца]]''' ⊃ '''[[область главных идеалов|области главных идеалов]]''' ⊃ '''евклидовы кольца''' ⊃ '''[[поле (математика)|поля]]'''
== Определение ==
''Евклидово кольцо'' — это [[область целостности]] ''<math>R''</math>, для которой определена '''евклидова функция''' (''евклидова норма'') <math>d \colon R \tosetminus \mathbb{ N_00 \cup \{-\infty\} </math>, причём <math>d(a)=-\inftyto \Leftrightarrowmathbb N_0 a=0</math>, итакая, что возможно [[деление с остатком]], по норме меньшим делителя, то есть для любых <math>a,b\in R,\, b\ne 0</math> имеется представление <math>a=bq+r</math>, для которого <math>d(r)<d(b)</math>{{Sfn|Курош|1962|с=91}}.
=== Дополнительное ограничение ===
=== Замечание ===
Часто на евклидову норму накладывают дополнительное ограничение: <math>d(a)\leqslant d(ab)</math> для любых ''ненулевых <math>a''</math> и ненулевых ''<math>b''</math> из кольца ''<math>R''</math>. Если на ''<math>R''</math> задана норма, не удовлетворяющая этому условию, её можно поправить, переопределив:
: <math>d'(a) = \min_{x\in R\setminus\{0\}} d(ax)</math>.
Такая норма нужному неравенству удовлетворяет, однако прежний алгоритм деления с остатком ужетребует непоправки годится — его тоже надо поправлять. Пусть(для <math>x\in R</math> таков, чтои <math>d'(b) = d(bx)</math>. Разделимделится с остатком ''<math>ax''</math> на ''<math>bx''</math> с остатком: <math>ax = bxq' + r'x</math>, где <math>r' = a - bq'</math> и <math>d(r'x)<d(bx)=d'(b)</math>., Така так как из определения следует <math>d'(r')\leqslant d(r'x)</math>, мыполучается получилиискомое представление <math>a = bq' + r'</math> с <math>d'(r')<d'(b)</math>, что и требовалось).
Тем не менее, преимуществПреимуществ у такой нормы не так много — все обратимые элементы имеют одно и то же значение нормы, причём минимальное из всех (конечных), собственные делители элемента ''<math>a''</math> имеют меньшее значение нормы, а также упрощается непосредственное доказательство факториальности евклидовых колец (без ссылки на факториальность колец главных [[Идеал (алгебра)|идеалов]], доказательство чего требует применения [[Трансфинитная индукция|трансфинитной индукции]]). Основные же свойства евклидовых колец остаются в силе и без этого дополнительного свойства.
== Примеры ==
* Кольцо [[целое число|целых чисел]] <math>\mathbb{Z}</math>. Пример евклидовой функции — [[абсолютная величина]] <math>|\cdot|</math>.
* Кольцо [[Гауссовы целые числа|целых гауссовых чисел]] <math>\mathbb{Z}[i]</math> (где ''<math>i''</math> — [[мнимая единица]], <math>i^2 = -1</math>) с нормой <math>d(a+ib) = a^2 + b^2</math> — евклидово.
* Произвольное [[поле (алгебра)|поле]] <math>K</math> является евклидовым кольцом с нормой, равной 1 для всех элементов, кроме 0.
* Кольцо [[многочлен]]ов в одной переменной <math>K[x]</math> над [[поле (алгебра)|полем]] <math>K</math>. Пример евклидовой функции — степень deg.
* Кольцо [[формальный степенной ряд|формальных степенных рядов]] <math>K[[x]]</math> над полем ''<math>K''</math> является евклидовым кольцом. Норма степенного ряда — номер первого ненулевого коэффициента в нём (для нулевого ряда норма равна минус бесконечности).
** Более общо, всякое [[локальное кольцо]] является евклидовым, если в нём максимальный [[Идеал (алгебра)|идеал]] является [[Главный идеал|главным]] и пересечение всех его степеней состоит только из нуля. Норма обратимого элемента равна 0, необратимого ненулевого — максимальной степени максимального идеала, которая содержит данный элемент, а норма нуля — минус бесконечность.
* Кольцо функций ''<math>H(K)''</math>, [[голоморфная функция|голоморфных]] на [[Связное пространство|связном]] [[компакт]]е ''<math>K''</math> в '''<math>\C'''</math> (каждая из них должна быть голоморфна в какой-нибудь окрестности этого компакта; две такие функции считаются равными в ''<math>H(K)''</math>, если они совпадают в некоторой окрестности ''<math>K''</math>), тоже евклидово. За норму ненулевой функции принимается число нулей (с учётом кратности), которые она принимает на ''<math>K''</math>.
* Счётное пересечение евклидовых колец (подколец в каком-нибудь кольце) не обязано быть евклидовым кольцом (и даже [[нётерово кольцо|нётеровым]] или [[факториальное кольцо|факториальным]]). Например, кольцо функций ''<math>H(\mathbb D)''</math>, голоморфных в открытом круге ''<math>\mathbb D''</math>, является пересечением евклидовых колец функций ''<math>H(K)''</math>, голоморфных на замкнутых кругах ''<math>K''</math>, содержащихся внутри ''<math>\mathbb D'' (см. предыдущий пример)</math>, однако оно ни нётерово, ни факториально, соответственно, и неевклидово.
* [[Кольцо частных]] ''S<supmath>−1S^{-1}R</supmath>R'' евклидова кольца ''<math>R''</math> по мультипликативной системе ''<math>S''</math> тоже является евклидовым. Нормой дроби ''<math>x''</math> из ''S<supmath>−1S^{-1}R</supmath>R'' принимается:
*:: <math>d_S(x) = \min\{d_R(u):\,(u,s)\in R\times S, \, x=u/s\}</math>,
*: где <math>d_R</math> — евклидова норма в ''<math>R''</math>, а <math>d_S</math> — норма в ''S<supmath>−1S^{-1}R</supmath>R''.
*: Деление с остатком определяется так.следующим образом: Пустьпусть есть две ненулевые дроби <math>x=r/t</math> и <math>y</math> из ''S<sup>−1</sup>R''. По определению нормы в ''S<supmath>−1S^{-1}R</supmath>R'' существует элементы ''<math>u''</math> в ''<math>R''</math> и ''<math>s''</math> в ''<math>S''</math>, такие, что <math>y=u/s</math> и <math>d_S(y) = d_R(u) </math>. ПроизведёмПроизведя деление с остатком в кольце ''<math>R''</math> элементов ''<math>rs''</math> и ''</math>u'':<br /math> ''— <math>rs = uq + r'''</math>, так что <math>d_R(r')<d_R(u)</math>., Тогдаполучается <math>r/t = (u/s)(q/t) + r'/ts</math>.; Изиз построения следуют неравенства <math>d_S(r'/ts)\leqslant d_R(r')< d_R(u) = d_S(y)</math>.
* Евклидовым является кольцо конечных [[десятичная дробь|десятичных дробей]], так как оно является кольцом частных кольца [[целое число|целых чисел]] <math>\mathbb{Z}</math>.
* Евклидовыми являются кольца [[рациональная функция|рациональных функций]] над полем <math>\mathbb{C}</math> с фиксированными полюсами, так как такие кольца являются [[кольцо частных|кольцами частных]] [[кольцо многочленов|кольца многочленов]] <math>\mathbb{C}[x]</math>.
== Алгоритм Евклида ==
В евклидовом кольце осуществим [[алгоритм Евклида]] нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (элементов). Пусть изначально даны два элемента ''a< submath> 0a_0</ submath> '' и ''a< submath> 1a_0</ submath> '', причём <math>d(a_1)\leqslant d(a_0)</math> и <math>a_1\ne 0</math>. Деление с остатком даёт элемент <math>a_2 = a_0 - a_1q_1</math> с <math>d(a_2)<d(a_1)</math>. Если он не равен нулю, можно опять применить деление с остатком, и получить элемент <math>a_3 = a_1 - a_2q_2</math>, и т. дтак далее. Таким образом генерируется цепочка значений <math>a_0, a_1, a_2, \dots</math> с <math>d(a_0)>d(a_1)>d(a_2)>\dots</math>. Однако эта цепочка прерывается, поскольку всякое число из <math>N \cup\{-\infty\}</math> может строго превосходить лишь конечное количество других таких чисел. Это означает, что при некотором ''<math>n ''</math> остаток {{s|''a< submath> a_{n+1 }</ submath> ''}} равен нулю, а ''a< submath> na_n</ submath> '' не равен, он и есть [[ Наибольшийнаибольший общий делитель |НОД]] элементов ''a< submath> 0a_0</ submath> '' и ''a< submath> 1a_0</ submath> ''. Следовательно, в евклидовом кольце гарантировано завершение алгоритма Евклида. Строго говоря, именно в евклидовых кольцах и возможна реализация алгоритма Евклида. ▼
▲В евклидовом кольце осуществим [[алгоритм Евклида]] нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (элементов). Пусть изначально даны два элемента ''a<sub>0</sub>'' и ''a<sub>1</sub>'', причём <math>d(a_1)\leqslant d(a_0)</math> и <math>a_1\ne 0</math>. Деление с остатком даёт элемент <math>a_2 = a_0 - a_1q_1</math> с <math>d(a_2)<d(a_1)</math>. Если он не равен нулю, можно опять применить деление с остатком, и получить элемент <math>a_3 = a_1 - a_2q_2</math>, и т. д. Таким образом генерируется цепочка значений <math>a_0, a_1, a_2, \dots</math> с <math>d(a_0)>d(a_1)>d(a_2)>\dots</math>. Однако эта цепочка прерывается, поскольку всякое число из <math>N\cup\{-\infty\}</math> может строго превосходить лишь конечное количество других таких чисел. Это означает, что при некотором ''n'' остаток {{s|''a<sub>n+1</sub>''}} равен нулю, а ''a<sub>n</sub>'' не равен, он и есть [[Наибольший общий делитель|НОД]] элементов ''a<sub>0</sub>'' и ''a<sub>1</sub>''. Следовательно, в евклидовом кольце гарантировано завершение алгоритма Евклида. Строго говоря, именно в евклидовых кольцах и возможна реализация алгоритма Евклида.
== Свойства евклидовых колец ==
* В евклидовом кольце каждый [[Идеал (алгебра)|идеал]] — главный (в частности, все евклидовы кольца [[Нётерово кольцо|нётеровы]]).
** Пусть ''<math>I''</math> — произвольный идеал в евклидовом кольце. Если он содержит лишь <math>0</math>, — он главный. В противном случае среди его ненулевых элементов найдётся элемент ''<math>f''</math> с минимальной нормой (принцип минимума для натуральных чисел). Он делит все остальные элементы идеала: Если ''g'' —представив произвольный элемент идеала<math>g \in ''I'', представим его </math> в виде ''<math>g = fq + r''</math> с ''</math>d(r) < d(f)''.</math> Тогдаполучается, ''что <math>r''</math> — тоже элемент идеала ''<math>I''</math> и он обязан быть нулём, так как его норма меньше, чем у ''<math>f''</math>. Следовательно, идеал <math>I</math> содержится в идеале ''<math>(f)''</math>. С другой стороны, всякий идеал, содержащий элемент ''<math>f''</math>, содержит идеал ''</math>(f)''.</math>, откуда Значитследует, ''что <math>I = (f)''</math> — главный идеал.
* Каждое евклидово кольцо факториально, то есть каждый элемент представим конечным произведением простых элементов, и притом однозначно (с точностью до их перестановки и умножения на обратимые элементы). Факториальность — общее свойство всех [[кольцо главных идеалов|колец главных идеалов]].
* Каждое евклидово кольцо ''<math>R''</math> [[целозамкнутое кольцо|целозамкнуто]], то есть если дробь <math>a/b,\,a,b\in R</math>, является корнем многочлена <math>f\in R[x]</math> со старшим коэффициентом, равным 1, тогда <math>a</math> делится на <math>b</math>. Целозамкнутость — общее свойство всех факториальных колец.
== Свойства модулей над евклидовым кольцом ==
Пусть ''<math>R''</math> — евклидово кольцо. Тогда конечнопорождённые ''<math>R''</math>-модули обладают следующими свойствами:
* Всякий подмодуль ''<math>N''</math> конечнопорождённого ''<math>R''</math>-модуля ''<math>M''</math> конечно порождён (следствие нётеровости кольца ''<math>R''</math>).
* Ранг подмодуля ''<math>N''</math> не превосходит ранга модуля ''<math>M''</math> (следствие главности идеалов в ''<math>R''</math> — см. статью [[Структурнаяструктурная теорема для конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов]]).
* Подмодуль [[свободный модуль|свободного]] ''<math>R''</math>-модуля свободентакже (тоже)свободен.
* Гомоморфизм <math>A: \colon N\to M</math> конечнопорождённых ''<math>R''</math>-модулей всегда приводится к нормальной форме. То есть существуют образующие (базис, если модуль свободен) <math>u_1, u_2, \dots, u_n</math> модуля ''N'', образующие (базис) <math>v_1, v_2, \dots, v_m</math> модуля ''M'', номер <math>k\leqslant \min\{m,n\}</math> и <math>a_1,\dots,a_k</math> — элементы кольца ''<math>R''</math>, такие, что <math>a_i</math> делит <math>a_{i+1}</math> и при ''i > k'' <math>Au_i = 0</math>, а при остальных — <math>Au_i = a_iv_i</math>. При этом коэффициенты <math>a_1,\dots,a_k</math> определены однозначно с точностью до умножения на обратимые элементы кольца ''<math>R''</math>. (ТутВ этом свойстве прямо задействована евклидовость кольца ''<math>R''</math>.)
== См. также ==
* [[Кольцо (математика)|Кольцо]]
* [[Евклидово поле]]
* [[Область целостности]]
* [[Алгоритм Евклида]]
== Примечания ==
* [[Евклид]]
{{Примечания}}
== Ссылки ==
* {{MathWorld|EuclideanRing|Евклидово кольцо}}
* {{книга |автор= Б. Л. ван дер Варден.|заглавие= Алгебра|ссылка= |место= СПб.|издательство= Лань|год= 2004|страниц= 624|isbn= 5-8114-0552-9}}
* {{книга
| автор = [[Курош, Александр Геннадиевич|Курош А. Г.]]
| заглавие = Лекции по общей алгебре
| место = М.
| издательство = Физматлит
| год = 1962
| страниц = 400
| ref = Курош
}}
* {{книга |автор= Родосский К. А.|заглавие= Алгоритм Евклида|ссылка= |место= М.|издательство= Наука|год= 1988|страниц= 239|isbn= }}
* {{книга |автор= J. von zur Gathen, J. Gerhard.|заглавие= Modern Computer Algebra|ссылка= |место= |издательство= Cambridge University Press|год= 1999|allpages= 771|isbn= 0-521-82646-2}}
| 