Восьмёрка (теория узлов): различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
м Бот: удаление шаблона {{не переведено}} |
MBHbot (обсуждение | вклад) м replaced: – → – (3) |
||
Строка 22:
== Описание ==
Простое параметрическое представление узла «восьмёрка» задаётся множеством точек (''x'',''y'',''z''), для которых
:<math> \begin{align}
Строка 30:
\end{align} </math>
где ''t'' — вещественная переменная.
Восьмёрка является [[Простой узел (теория узлов)|простым]], {{не переведено 3|Альтернирующий узел|альтернирующим||alternating knot}}, {{не переведено 3|Рациональный узел|рациональным||rational knot}} узлом с соответствующим значением 5/2. Он является также [[Хиральный узел|ахиральным узлом]]. Восьмёрка является {{не переведено 3|Расслоённый узел|расслоённым||fibered knot}} узлом. Это следует из другого, менее простого (но более интересного) представления узла:
# Узел является ''однородной''<ref>Коса называется однородной, если любой генератор <math>\sigma_i</math> либо всегда положителен, либо всегда отрицателен.</ref> [[Теория кос|замкнутой косой]] (а именно, замыканием косы с 3 нитями σ<sub>1</sub>σ<sub>2</sub><sup>−1</sup>σ<sub>1</sub>σ<sub>2</sub><sup>−1</sup>), а теорема {{нп3|Сталлингс, Джон|Джона Сталлингса||John_R._Stallings}} показывает, что любая однородная коса является расслоённой.
# Узел является зацеплением в точке (0,0,0,0) — изолированной критической точки вещественного полиномиального отображения <var>F</var>: '''R'''<sup>4</sup>→'''R'''<sup>2</sup> так, что (согласно теореме [[Милнор, Джон Уиллард|Джона Милнора]]) {{не переведено 3|Отображение Милнора|отображение Милнора||Milnor map}} <var>F</var> является расслоением. Бернард Перрон нашёл первую такую функцию <var>F</var> для этого узла, а именно:
: <math>F(x, y, z, t)=G(x, y, z^2-t^2, 2zt),\,\!</math>
Строка 49:
[[Файл:Figure8knot-math-square.svg|thumb|Простое прямоугольное изображение узла «восьмёрка».]]
Узел «восьмёрка» играл исторически важную роль (и продолжает её играть) в теории {{не переведено 3|3-многообразие|3-многообразий||3-manifold}}. Где-то в середине 1970-х, [[Тёрстон, Уильям Пол|Уильям Тёрстон]] показал, что восьмёрка является {{не переведено 3|Гиперболический узел|гиперболическим узлом||hyperbolic knot}} путём разложения его дополнения на два идеальных гиперболических тетраэдра (Роберт Райли и Троэльс Йоргенсен, работая независимо друг от друга, до этого показали, что восьмёрка является гиперболической в другом смысле). Эта конструкция, новая по тем временам, привела его ко многим сильным результатам и методам. Например он смог показать, что все, кроме десяти, {{не переведено 3|Хирургия Дена|хирургий Дена||Dehn surgery}} на узле «восьмёрка» дают {{не переведено 3|Хакеново многообразие|нехакеновы||Haken manifold}}, не допускающие [[
Восьмёрка является также гиперболическим узлом с наименьшим возможным [[Гиперболический объём|объёмом]] 2,029 88..., согласно работе Чо Чунь (''Chun Cao'') и Роберта Майерхофа (''Robert Meyerhoff''). С этой точки зрения восьмёрку можно рассматривать как самый простой гиперболический узел. Дополнение восьмёрки является [[Накрытие|двойным накрытием]] {{не переведено 3|Многообразие Гизекинга|многообразия Гизекинга||Gieseking manifold}}, которое имеет наименьший объём среди некомпактных гиперболических 3-многообразий.
Узел «восьмёрка» и {{не переведено 3|Кружевной узел (−2,3,7)|кружевной узел (−2,3,7)||(−2,3,7) pretzel knot}} являются двумя гиперболическими узлами, для которых известно более шести ''особых хирургий'', хирургий Дена, приводящих к негиперболическим 3-многообразиям. Они имеют 10 и 7 соответственно. Теорема Лэкенби (Lackenby) и Майерхофа, доказательство которой опирается на [[Гипотеза Тёрстона|теорему геометризации]] и [[Доказательные вычисления|использование компьютерных вычислений]], утверждает, что 10 является максимальным возможным числом особых хирургий для любых гиперболических узлов. Однако до сих пор не установлено, является ли восьмёрка единственным узлом, на которой достигается граница 10. Хорошо известная гипотеза утверждает, что нижняя граница (за исключением двух упомянутых узлов) равна 6.
Строка 76:
|том=4
|год=2000
|страницы=
}} {{MathSciNet|id=1799796}}
*{{статья
Строка 85:
|год=2001
|выпуск=3
|стриницы=
}} {{MathSciNet|id=1869847}}
*{{статья
Строка 94:
|год=2000
|выпуск=2
|страницы=
}} {{MathSciNet|id=1756996}}
*{{статья
Строка 117:
*[http://katlas.math.toronto.edu/wiki/4_1 4_1] Knot Atlas
*{{MathWorld|title=Figure Eight Knot|urlname=FigureEightKnot}}
{{rq|checktranslate}}▼
[[Категория:3-многообразия]]
[[Категория:Теория узлов]]
▲{{rq|checktranslate}}
| |||