Точка Брокара: различия между версиями

[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
уточнение, категория, лит-ра
оформление, стилевые правки
Строка 1:
[[Файл:Brocard point.svg|thumb|360px|''Точка Брокара ''P'' треугольника ''ABC'', построенная как точка пересечения трех окружностей]]
 
'''Точки Брокара''' (Brocard points) — это специальные точки внутри [[треугольник]]а. Они названы в честь французского математика [[Брокар, Анри (математик)|Анри Брокара]].
 
== Определение ==
В треугольнике ''ABC'' ссо сторонами ''a'', ''b'', и ''c'', противолежащими вершинам соответственно ''A'', ''B'' и ''C'' соответственно (в порядке против часовой стрелки), имеется всего одна точка ''P'', такая, что отрезки прямых ''AP'', ''BP'', andи ''CP'' образуют один и тот же угол, ωобозначаемый соответственноω, со сторонами''c'', ''a'', и ''b'' соответственно, ато именно:есть
 
: <math>\angle PAB = \angle PBC = \angle PCA.\,</math>
 
Точка ''P'' называется ''первой точкой Брокара'' в треугольникетреугольника ''ABC'', а угол ''ω'' называется '''Угломуглом Брокара'' треугольникетреугольника. ОтсюдаДля вытекаетэтого следующееугла свойствовыполняется этого угласледующее тождество:
 
: <math>\cot\omega = \cot \alpha + \cot \beta + \cot \gamma.\,</math>
 
В треугольнике ''ABC'' имеется также ''вторая точка Брокара'' Q, такая, что отрезки прямых ''AQ'', ''BQ'', andи ''CQ'' образуют один и тот же угол соответственно со сторонами ''b'', ''c'', andи ''a'' соответственно. Иными словами, получаютсявыполняются уравнения <math>\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC</math>. Удивительно, что ''вторая точка Брокара'' изогонально сопряжена с ''первой точкой Брокара''. Иными словами, угол <math>\angle PBC = \angle PCA = \angle PAB</math> тотравен же самый, что и уголуглу <math>\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC.</math>
 
Две точки Брокара явнотесно связаны друг с другом. По сути различие между ''первой и второй точками Брокара'' зависит от порядка, в котором нумеруются углы треугольника ''ABC''. Так, например, ''первая точка Брокара'' треугольника ''ABC'' совпадает со ''второй точкой Брокара'' треугольника ''ACB''.
 
== Построение ==
Наиболее красивое построение точек Брокара производится следующим образом. В следующем примере строится ''первая точка Брокара'', а ''вторая точка Брокара'' строится аналогично.
ПриведемПроведём окружность через точки A и B, касательнокасающуюся к сторонестороны BC треугольника (центр этой окружности находится в точке, которая лежит на пересечении перпендикулярнойсерединного биссектрисыперпендикуляра к стороне AB с прямой, проходящей через B. Так,и что она перпендикулярна кперпендикулярной BC. СовершенноАналогичным симметричнообразом строим вторую окружность, проходящую через точки B и C соответственнои касательнокасающуюся к сторонестороны AC, и третью окружность, проходящую через точки A и C касательнои ккасающуюся сторонестороны AB. Эти три окружности имеют общую точку (точку пересечения), являющуюся ''первой точкой Брокара'' треугольника ''ABC''. См. также [[касательная]] к [[окружность|окружности]]. ''Вторая точка Брокара'' строится аналогично.
 
== Литература ==
*{{citation
Строка 33 ⟶ 34 :
| title = Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
| publisher = The Mathematical Association of America | location = Washington, D.C. | year = 1995}}.
 
 
[[Категория:Замечательные точки треугольника]]