Нестандартный анализ: различия между версиями

шаблон
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
(шаблон)
{{значения|Анализ}}
 
'''Нестандартный анализ''' — альтернативный подход к обоснованию [[математический анализ|математического анализа]], в котором [[бесконечно малые]]  — не переменные величины, а особый вид чисел. В нестандартном анализе на современной основе реализуется восходящая к [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбницу]] и его последователям идея о существовании [[бесконечно малое|бесконечно малых]] величин, отличных от нуля, — идея, которая в историческом развитии математического анализа была заменена понятием предела переменной величины. Недоверие к актуальным бесконечным величинам в математике объяснялось трудностями их формального обоснования. Любопытно, что представления об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых величинах сохранялись в учебниках физики и других естественных наук, где часто встречаются фразы вроде «пусть <math>dV</math>  — (бесконечно малый) элемент объёма…»<ref>См., например: ''Детлаф А. А., Яворский Б. М.'' Курс физики. М.: Высшая школа, 1999, Стр. 128 и далее.</ref>.
 
Концепция Лейбница была реабилитирована, когда появилось первое современное изложение инфинитезимальных методов, которое дал [[Абрахам Робинсон]] в 1961 году. В отличие от традиционного анализа, опирающегося на [[Вещественное число|вещественные]] и [[комплексные числа]], нестандартный анализ имеет дело с более широким полем [[Гиперреальное число|гипервещественных чисел]], в котором не выполняется [[аксиома Архимеда]]<ref name=PANOV>{{книга|автор=Панов В. Ф. |заглавие=Математика древняя и юная |издание=Изд. 2-е, исправленное |место=М. |издательство=[[МГТУ им. Баумана]] |год=2006 |страниц=648 |страницы=548—553 |isbn=5-7038-2890-2 }}</ref>.
Указанные теории являются консервативным расширением [[Теория Цермело — Френкеля|теории Цермело — Френкеля]] и, стало быть, имеют тот же статус строгости при рассмотрении их как обоснование современной математики. При этом новые теории обладают несравненно более широкими возможностями.
 
=== Стандартные и нестандартные элементы ===
Содержательным исходным пунктом аксиоматики нестандартного анализа является представление о том, что в каждом математическом объекте могут быть элементы только двух типов.
Элементы первого типа доступны нам или прямым или потенциально бесконечным способом в том смысле, что мы можем или указать такие элементы непосредственно или доказать их существование и единственность, используя уже имеющиеся в нашем распоряжении доступные объекты. Объекты этого типа называют стандартными, а прочие — нестандартными.
Числа, бесконечно близкие к данному конечному числу, составляют его ''монаду''. Монады не являются обычными множествами (их именуют внешними множествами по отношению к миру Цермело-Френкеля). Монады разных стандартных чисел попарно не пересекаются, но в объединении охватывают все конечные числа. Таким образом, формальная техника нестандартного анализа хорошо отражает натурфилософские представления о двойственной «дискретно-непрерывной» структуре «физической» числовой прямой.
 
=== Одно представление нестандартных чисел ===
Нестандартный анализ использует новое первичное понятие — свойство объекта быть или не быть стандартным. В «стандартной» математике обычно эти различия невыразимы: нельзя говорить об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых постоянных величинах.
 
По сути же, формальная теория нестандартного анализа есть консервативное расширение классической, то т.е.есть любое суждение классической математики, доказанное с помощью нестандартного анализа, может быть доказано и без использования новых методов.
Тем не менее, есть одно технически полезное "«классическое"» представление нестандартных чисел, которое дают т. н. ''[[дуальные числа]]'', то т.е.есть числа вида '''<math>a+\varepsilon * b</math>''', где <math>\varepsilon^2=0</math>.
 
== Приложения ==
; Приложения
* ''Альбеверио С., Фенстад Й., Хеэг-Крон Р., Линдстрем Т.'' Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике, М.: Мир, 1990, 616 с., ISBN 5-03-001180-3.
* ''Звонкин А. К., Шубин М. А.'' Нестандартный анализ и сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений, [[Успехи математических наук]], 39 (1984), №  2, c 77-127.
 
{{rq|style|source|refless|isbn}}
 
{{Разделы математики}}
{{Бесконечно малые и бесконечно большие}}
 
[[Категория:Математическая логика]]
[[Категория:Математический анализ]]