Комплексный анализ: различия между версиями

Производная для комплексной функции одного аргумента <math>w=f(z)</math> определяется так же, как и для вещественной{{sfn |Смирнов В. И.|2010|с=15—22.|name=SMI15}}:

: <math>f^\prime(z)=\frac{df}{dz}=\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}</math>

: <math>f(z+h)-f(z)=\frac{df}{dz}\cdot h+o(h).</math>

Следует учитывать одну важную особенность: поскольку комплексная функция задана на плоскости, существование приведённого предела означает, что он одинаков при стремлении к <math>z</math> с любого направления. Этот факт накладывает существенные ограничения на вид функций-компонент <math>u,\;v</math> и определяет их жёсткую взаимосвязь ([[условия Коши — Римана]])<ref name=SMI15/>:

* Обе компоненты дифференцируемой комплексной функции являются [[Гармоническая функция|гармоническими функциями]], то есть удовлетворяют [[Уравнение Лапласа|уравнению Лапласа]]:

: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0;\qquad\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0.</math>

 

=== Другие свойства ===

Пусть функции <math>f(z)</math> и <math>g(z)</math> дифференцируемы в области <math>G\subset\mathbb C</math>. Тогда <math>f(z)\pm g(z)</math> и <math>f(z)\cdot g(z)</math> также дифференцируемы в этой области. Если <math>g(z)</math> в области <math>G</math> не обращается в ноль, то <math>\frac{f(z)}{g(z)}</math> будет дифференцируема в <math>G</math>. [[Композиция функций]] <math>f(g(z))</math> дифференцируема всюду, где она определена. Если производная функции <math>w=f(z)</math> в области <math>G</math> не обращается в ноль, то существует обратная к ней функция <math>z=\varphi(w)</math>, и она будет дифференцируема.

 

 

=== Геометрический смысл производной ===

Каждая комплексная функция <math>w=f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)</math> определяет некоторое отображение комплексной плоскости с координатами <math>(x,\;y)</math> на другую комплексную плоскость с координатами <math>(u,\;v)</math>. При этом выражение:

: <math>\left|\frac{f(z+h)-f(z)}{h}\right| = k(h)</math>

Существование предела <math>~\lim_{h \to 0} k(h)</math>, то есть модуля производной <math>|f^\prime(z)|=k</math>, означает, что коэффициент масштабирования одинаков в любом направлении от точки <math>z</math>, то есть не зависит от направления. Вообще говоря, коэффициент масштабирования меняется от точки к точке.

 

Для любой функции <math>f(z)</math>, непрерывной вдоль <math>\gamma</math>, этот интеграл существует и может быть вычислен через обычный вещественный интеграл по параметру:

: <math>\int\limits_\gamma\!f(z)\,dz=\int\limits_a^b\!f(z(t))z'(t)\,dt=\int\limits_\gamma\!(u\,dx-v\,dy)+i\int\limits_\gamma\!(v\,dx+u\,dy).</math>

 

=== Контурный интеграл ===

Следствие: пусть функция <math>f(z)</math>, аналитична в односвязной области <math>A\subset\C</math>, а точки <math>z_1, z_2</math> из области <math>A</math> соединены некоторой кривой <math>\gamma</math>. Тогда интеграл <math>\int\limits_\gamma\!f(z)\,dz</math> зависит только от точек <math>z_1, z_2</math>, но не от выбора соединяющей их кривой <math>\gamma</math>, так что можно обозначить его <math>\int\limits_{z_1}^{z_2} {f(z)\,dz}</math>, и имеет место [[теорема Ньютона — Лейбница]]:

: <math>\int\limits_{z_1}^{z_2} {f(z)\,dz} = F(z_2) - F(z_1),</math>

 

Другие мощные инструменты для исследования комплексных и вещественных интегралов:

Следствие: если функция <math>f(z)</math> аналитическая в области <math>D</math> и не равна тождественно нулю, то в любой ограниченной [[Замкнутое множество|замкнутой]] подобласти <math>C \subset D</math> у неё может быть лишь конечное число нулей.

 

 

В частности, если две аналитические функции совпадают на некоторой кусочно-гладкой кривой в <math>D</math>, то они совпадают всюду в <math>D</math>. Это значит, что значения аналитической функции даже на небольшом участке области полностью определяют поведение функции во всей области её определения. Задав аналитическую функцию на кривой (например, на вещественной оси), мы однозначно определяем её расширение (если оно возможно) на более широкую область, которое называется [[Аналитическое продолжение|аналитическим продолжением]] исходной функции.

 

: <math>\sin^2 z + \cos^2 z = 1; \qquad e^u \cdot e^v = e^{u+v}</math>

 

Граница круга сходимости содержит хотя бы одну особую точку. Отсюда следует, что радиус круга сходимости в точке <math>z_0</math> равен расстоянию от <math>z_0</math> до ближайшей к ней особой точки.

 

 

=== Ряд Лорана ===

 

Как и для степенного ряда, границы кольца сходимости определяются распределением особых точек функции. По виду ряда Лорана можно сделать некоторые выводы о поведении функции вблизи точки <math>z_0</math>.

# [[Полюс (комплексный анализ)|Полюс]]: если ряд Лорана содержит конечное число элементов с отрицательными степенями <math>~z-z_0</math>. В этом случае функция в точке <math>z_0</math> бесконечна (по модулю).

# [[Существенно особая точка]]: если ряд Лорана содержит бесконечное число элементов с отрицательными степенями <math>~z-z_0</math>. В этом случае функция в точке <math>z_0</math> не может быть корректно определена так, чтобы быть непрерывной.